Theorem rfcnpre2 41308

Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre2.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre2.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre2.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre2.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5749	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
5		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		rfcnpre2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfov 7186	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(-∞(,)𝐵)
8	3, 7	nfima 5937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9		nfrab1 3384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
10		rfcnpre2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		rfcnpre2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13		rfcnpre2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
14	10, 11, 12, 13	fcnre 41302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
15	14	ffvelrnda 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		rfcnpre2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		elioomnf 12833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
19	18	baibd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
20	15, 19	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
21	20	pm5.32da 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
22		ffn 6514	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23		elpreima 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
24	14, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25		rabid 3378	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
27	21, 24, 26	3bitr4d 313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}))
28	1, 8, 9, 27	eqrd 3986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
29		rfcnpre2.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
30	28, 29	syl6eqr 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31		iooretop 23374	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	32, 10	eleqtrrdi 2924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34		cnima 21873	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35	13, 33, 34	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
36	30, 35	eqeltrrd 2914	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2961  {crab 3142  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554  ran crn 5556   “ cima 5558   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  -∞cmnf 10673  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675  (,)cioo 12739  topGenctg 16711   Cn ccn 21832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-ioo 12743  df-topgen 16717  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cn 21835

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  42357  cnfsmf  43037