MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooretop 22770
Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
iooretop (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop
StepHypRef Expression
1 retopbas 22765 . . 3 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 20972 . . 3 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . 2 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 ioorebas 12468 . 2 (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
53, 4sselii 3741 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  wss 3715  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  (,)cioo 12368  topGenctg 16300  TopBasesctb 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-ioo 12372  df-topgen 16306  df-bases 20952
This theorem is referenced by:  icccld  22771  icopnfcld  22772  iocmnfcld  22773  zcld  22817  iccntr  22825  reconnlem1  22830  reconnlem2  22831  icoopnst  22939  iocopnst  22940  dvlip  23955  dvlipcn  23956  dvivthlem1  23970  dvne0  23973  lhop2  23977  lhop  23978  dvfsumle  23983  dvfsumabs  23985  dvfsumlem2  23989  ftc1  24004  dvloglem  24593  advlog  24599  advlogexp  24600  cxpcn3  24688  loglesqrt  24698  lgamgulmlem2  24955  log2sumbnd  25432  dya2iocbrsiga  30646  dya2icobrsiga  30647  poimir  33755  ftc1cnnc  33797  areacirclem1  33813  rfcnpre1  39677  rfcnpre2  39689  ioontr  40239  iocopn  40249  icoopn  40254  islptre  40354  limciccioolb  40356  limcicciooub  40372  limcresiooub  40377  limcresioolb  40378  icccncfext  40603  itgsin0pilem1  40668  itgsbtaddcnst  40701  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem3  40825  dirkercncflem4  40826  fourierdlem28  40855  fourierdlem32  40859  fourierdlem33  40860  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem56  40882  fourierdlem57  40883  fourierdlem59  40885  fourierdlem60  40886  fourierdlem61  40887  fourierdlem62  40888  fourierdlem68  40894  fourierdlem72  40898  fourierdlem73  40899  fouriersw  40951  iooborel  41072
  Copyright terms: Public domain W3C validator