MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooretop 22479
Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
iooretop (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop
StepHypRef Expression
1 retopbas 22474 . . 3 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 20681 . . 3 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . 2 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 ioorebas 12217 . 2 (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
53, 4sselii 3580 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wss 3555  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  (,)cioo 12117  topGenctg 16019  TopBasesctb 20620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-ioo 12121  df-topgen 16025  df-bases 20622
This theorem is referenced by:  icccld  22480  icopnfcld  22481  iocmnfcld  22482  zcld  22524  iccntr  22532  reconnlem1  22537  reconnlem2  22538  icoopnst  22646  iocopnst  22647  dvlip  23660  dvlipcn  23661  dvivthlem1  23675  dvne0  23678  lhop2  23682  lhop  23683  dvfsumle  23688  dvfsumabs  23690  dvfsumlem2  23694  ftc1  23709  dvloglem  24294  advlog  24300  advlogexp  24301  cxpcn3  24389  loglesqrt  24399  lgamgulmlem2  24656  log2sumbnd  25133  dya2iocbrsiga  30115  dya2icobrsiga  30116  poimir  33071  ftc1cnnc  33113  areacirclem1  33129  rfcnpre1  38658  rfcnpre2  38670  ioontr  39144  iocopn  39154  icoopn  39159  islptre  39252  limciccioolb  39254  limcicciooub  39270  limcresiooub  39275  limcresioolb  39276  icccncfext  39401  itgsin0pilem1  39469  itgsbtaddcnst  39502  dirkercncflem2  39625  dirkercncflem3  39626  dirkercncflem4  39627  fourierdlem28  39656  fourierdlem32  39660  fourierdlem33  39661  fourierdlem48  39675  fourierdlem49  39676  fourierdlem56  39683  fourierdlem57  39684  fourierdlem59  39686  fourierdlem60  39687  fourierdlem61  39688  fourierdlem62  39689  fourierdlem68  39695  fourierdlem72  39699  fourierdlem73  39700  fouriersw  39752  iooborel  39873
  Copyright terms: Public domain W3C validator