MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmneg1 19277
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 11065 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringmneg1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg1
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 19233 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4 ringneglmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2821 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
64, 5ringidcl 19249 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
8 ringneglmul.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
94, 8grpinvcl 18091 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
103, 7, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
11 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
12 ringneglmul.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
13 ringneglmul.t . . . 4 · = (.r𝑅)
144, 13ringass 19245 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1364 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
164, 13, 5, 8, 1, 11ringnegl 19275 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
1716oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁𝑋) · 𝑌))
184, 13ringcl 19242 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 11, 12, 18syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
204, 13, 5, 8, 1, 19ringnegl 19275 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
2115, 17, 203eqtr3d 2864 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  Grpcgrp 18043  invgcminusg 18044  1rcur 19182  Ringcrg 19228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230
This theorem is referenced by:  ringm2neg  19279  rngsubdir  19281  mulgass2  19282  cntzsubr  19499  mdetunilem7  21157
  Copyright terms: Public domain W3C validator