Theorem mulneg1 11076

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10633	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		subdir 11074	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
4		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul02d 10838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
6	5	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
8		df-neg 10873	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
9	8	oveq1i 7166	. 2 ⊢ (-𝐴 · 𝐵) = ((0 − 𝐴) · 𝐵)
10		df-neg 10873	. 2 ⊢ -(𝐴 · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵))
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2881	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   · cmul 10542   − cmin 10870  -cneg 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  mulneg2  11077  mulneg12  11078  mulm1  11081  mulneg1i  11086  mulneg1d  11093  divneg  11332  zmulcl  12032  modcyc2  13276  cjreim  14519  tanval3  15487  dvdsnegb  15627  odd2np1  15690  modgcd  15880  pcexp  16196  cnfldmulg  20577  sinperlem  25066  sineq0  25109  efeq1  25113  asinlem3a  25448  atancj  25488  atantayl  25515  atantayl2  25516  zetacvg  25592  basellem3  25660  basellem9  25666  ipval2  28484  ipasslem2  28609  itg2addnclem3  34960  ftc1anclem6  34987  stoweidlem10  42315