Theorem rpgtrecnn 41669

Description: Any positive real number is greater than the reciprocal of a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rpgtrecnn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpgtrecnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpreccl 12416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12432	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐴))
4		flge0nn0 13191	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
6		nn0p1nn 11937	. . 3 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
8		flltp1 13171	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
10	7	nnrpd 12430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℝ+)
11	1, 10	ltrecd 12450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴))))
12	9, 11	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴)))
13		rpcn 12400	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		rpne0 12406	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
15	13, 14	recrecd 11413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
16	12, 15	breqtrd 5092	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴)
17		oveq2 7164	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)))
18	17	breq1d 5076	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → ((1 / 𝑛) < 𝐴 ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴))
19	18	rspcev 3623	. 2 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ ∧ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
20	7, 16, 19	syl2anc 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℝ⁺crp 12390  ⌊cfl 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163

This theorem is referenced by:  xrralrecnnle  41673  iunhoiioolem  42977  smflimlem4  43070