MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrpd 11704
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrp 11676 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cn 10869  +crp 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-rp 11667
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  11705  modmulnn  12507  mulp1mod1  12530  modsumfzodifsn  12562  addmodlteq  12564  nnesq  12807  digit1  12817  bcpasc  12927  cshwn  13342  iseralt  14211  mertenslem1  14403  mertenslem2  14404  fprodmodd  14515  ege2le3  14607  eftlub  14626  effsumlt  14628  eirrlem  14719  sqr2irrlem  14764  dvdsmod  14836  bitsfzo  14943  bitsmod  14944  bitscmp  14946  bitsinv1lem  14949  sadaddlem  14974  sadasslem  14978  bitsres  14981  smumul  15001  bezoutlem3  15044  eucalglt  15084  prmind2  15184  crth  15269  eulerthlem2  15273  fermltl  15275  prmdiv  15276  prmdiveq  15277  odzdvds  15286  vfermltlALT  15293  powm2modprm  15294  modprm0  15296  modprmn0modprm0  15298  prmreclem3  15408  prmreclem5  15410  prmreclem6  15411  4sqlem5  15432  4sqlem6  15433  4sqlem7  15434  4sqlem10  15437  4sqlem12  15446  vdwlem1  15471  mndodcong  17732  odmod  17736  oddvds  17737  dfod2  17752  gexexlem  18026  zringlpirlem3  19601  met1stc  22083  met2ndci  22084  lebnumlem3  22517  lebnumii  22520  ovollb2lem  23007  ovoliunlem1  23021  ovoliunlem3  23023  uniioombllem6  23106  itg2cnlem2  23279  elqaalem2  23823  aalioulem2  23836  aalioulem4  23838  aalioulem5  23839  aaliou2b  23844  aaliou3lem9  23853  logfac  24095  cxpeq  24242  leibpi  24413  amgmlem  24460  emcllem1  24466  emcllem2  24467  emcllem3  24468  emcllem5  24470  harmoniclbnd  24479  harmonicubnd  24480  harmonicbnd4  24481  fsumharmonic  24482  zetacvg  24485  lgamgulmlem2  24500  lgamgulmlem3  24501  lgamgulmlem4  24502  lgamgulmlem5  24503  lgamgulmlem6  24504  lgamgulm2  24506  lgambdd  24507  lgamucov  24508  lgamcvg2  24525  gamcvg  24526  gamcvg2lem  24529  regamcl  24531  relgamcl  24532  lgam1  24534  wilthlem1  24538  wilthlem2  24539  basellem1  24551  basellem6  24556  basellem8  24558  chtf  24578  efchtcl  24581  chtge0  24582  vmacl  24588  efvmacl  24590  sgmnncl  24617  chtprm  24623  chtdif  24628  efchtdvds  24629  prmorcht  24648  sgmppw  24666  vmalelog  24674  chtleppi  24679  chtublem  24680  fsumvma2  24683  pclogsum  24684  vmasum  24685  chpchtsum  24688  chpub  24689  logfacubnd  24690  logfaclbnd  24691  logfacbnd3  24692  logfacrlim  24693  logexprlim  24694  logfacrlim2  24695  perfectlem2  24699  bclbnd  24749  bposlem1  24753  bposlem2  24754  bposlem4  24756  bposlem5  24757  bposlem6  24758  bposlem7  24759  bposlem9  24761  lgslem1  24766  lgslem4  24769  lgsvalmod  24785  lgsmod  24792  lgsdirprm  24800  lgsne0  24804  lgsqrlem2  24816  gausslemma2dlem0i  24833  gausslemma2dlem5a  24839  gausslemma2d  24843  lgseisenlem1  24844  lgseisenlem2  24845  lgseisenlem3  24846  lgseisenlem4  24847  lgseisen  24848  lgsquadlem2  24850  lgsquadlem3  24851  m1lgs  24857  2sqlem8  24895  chebbnd1lem1  24902  chebbnd1lem2  24903  chebbnd1lem3  24904  chebbnd1  24905  chtppilimlem1  24906  chtppilimlem2  24907  chtppilim  24908  chebbnd2  24910  chto1lb  24911  vmadivsum  24915  vmadivsumb  24916  rplogsumlem1  24917  rplogsumlem2  24918  dchrisum0lem1a  24919  rpvmasumlem  24920  dchrisumlema  24921  dchrisumlem1  24922  dchrisumlem2  24923  dchrmusum2  24927  dchrvmasumlem1  24928  dchrvmasum2lem  24929  dchrvmasum2if  24930  dchrvmasumlem2  24931  dchrvmasumlem3  24932  dchrvmasumiflem1  24934  dchrvmasumiflem2  24935  dchrisum0flblem2  24942  dchrisum0fno1  24944  dchrisum0lema  24947  dchrisum0lem1b  24948  dchrisum0lem1  24949  dchrisum0lem2a  24950  dchrisum0lem2  24951  dchrisum0lem3  24952  dchrisum0  24953  dirith2  24961  mudivsum  24963  mulogsumlem  24964  mulogsum  24965  mulog2sumlem1  24967  mulog2sumlem2  24968  mulog2sumlem3  24969  vmalogdivsum2  24971  vmalogdivsum  24972  2vmadivsumlem  24973  logsqvma  24975  log2sumbnd  24977  selberglem1  24978  selberglem2  24979  selberglem3  24980  selberg  24981  selbergb  24982  selberg2lem  24983  selberg2  24984  selberg2b  24985  chpdifbndlem1  24986  logdivbnd  24989  selberg3lem1  24990  selberg3lem2  24991  selberg3  24992  selberg4lem1  24993  selberg4  24994  pntrsumo1  24998  pntrsumbnd2  25000  selbergr  25001  selberg3r  25002  selberg4r  25003  selberg34r  25004  pntsf  25006  pntsval2  25009  pntrlog2bndlem1  25010  pntrlog2bndlem2  25011  pntrlog2bndlem3  25012  pntrlog2bndlem4  25013  pntrlog2bndlem5  25014  pntrlog2bndlem6  25016  pntrlog2bnd  25017  pntpbnd1a  25018  pntpbnd1  25019  pntpbnd2  25020  pntibndlem2  25024  pntlemn  25033  pntlemj  25036  pntlemf  25038  pntlemk  25039  pntlemo  25040  pnt  25047  padicabvcxp  25065  ostth2lem2  25067  ostth2lem3  25068  ostth2lem4  25069  ostth2  25070  ostth3  25071  clwwisshclwwlem1  26126  numclwwlk5  26432  numclwwlk7  26434  ubthlem2  26904  minvecolem3  26909  lnconi  28069  ltesubnnd  28748  2sqmod  28772  madjusmdetlem2  29015  eulerpartlemgc  29544  iprodgam  30674  faclimlem1  30675  faclimlem3  30677  faclim  30678  iprodfac  30679  knoppndvlem17  31482  poimirlem29  32391  heiborlem3  32565  heiborlem5  32567  heiborlem6  32568  heiborlem7  32569  heiborlem8  32570  heibor  32573  rrndstprj2  32583  rrncmslem  32584  rrnequiv  32587  irrapxlem5  36191  pell14qrgapw  36241  pellqrexplicit  36242  pellqrex  36244  pellfundge  36247  pellfundgt1  36248  jm3.1lem1  36385  jm3.1lem2  36386  hashnzfz2  37325  xralrple4  38313  recnnltrp  38317  rpgtrecnn  38321  fsumnncl  38421  stoweidlem31  38707  stoweidlem59  38735  wallispilem3  38743  wallispi  38746  stirlinglem12  38761  stirlinglem15  38764  fourierdlem73  38855  etransclem23  38933  nnfoctbdjlem  39131  ovnsubaddlem1  39243  ovolval5lem1  39325  ovolval5lem2  39326  vonioolem1  39354  vonioolem2  39355  vonicclem2  39358  fmtnoprmfac1lem  39798  sfprmdvdsmersenne  39842  lighneallem2  39845  proththd  39853  perfectALTVlem2  39949  clwwisshclwwslemlem  41214  av-numclwwlk5  41523  av-numclwwlk7  41526  pw2m1lepw2m1  42085  logbge0b  42136  logblt1b  42137  logbpw2m1  42140  nnpw2pmod  42156  nnolog2flm1  42163  blennngt2o2  42165  dignnld  42176  digexp  42180  amgmlemALT  42300
  Copyright terms: Public domain W3C validator