MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrpd 11908
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrp 11880 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cn 11058  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  11909  modmulnn  12728  mulp1mod1  12751  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  nnesq  13028  digit1  13038  bcpasc  13148  cshwn  13589  iseralt  14459  mertenslem1  14660  mertenslem2  14661  fprodmodd  14772  ege2le3  14864  eftlub  14883  effsumlt  14885  eirrlem  14976  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  p1modz1  15034  dvdsmod  15097  bitsfzo  15204  bitsmod  15205  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  bitsres  15242  smumul  15262  bezoutlem3  15305  eucalglt  15345  prmind2  15445  crth  15530  eulerthlem2  15534  fermltl  15536  prmdiv  15537  prmdiveq  15538  odzdvds  15547  vfermltlALT  15554  powm2modprm  15555  modprm0  15557  modprmn0modprm0  15559  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  4sqlem5  15693  4sqlem6  15694  4sqlem7  15695  4sqlem10  15698  4sqlem12  15707  vdwlem1  15732  mndodcong  18007  odmod  18011  oddvds  18012  dfod2  18027  gexexlem  18301  zringlpirlem3  19882  met1stc  22373  met2ndci  22374  lebnumlem3  22809  lebnumii  22812  ovollb2lem  23302  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem3  23318  uniioombllem6  23402  itg2cnlem2  23574  elqaalem2  24120  aalioulem2  24133  aalioulem4  24135  aalioulem5  24136  aaliou2b  24141  aaliou3lem9  24150  logfac  24392  cxpeq  24543  leibpi  24714  amgmlem  24761  emcllem1  24767  emcllem2  24768  emcllem3  24769  emcllem5  24771  harmoniclbnd  24780  harmonicubnd  24781  harmonicbnd4  24782  fsumharmonic  24783  zetacvg  24786  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem5  24804  lgamgulmlem6  24805  lgamgulm2  24807  lgambdd  24808  lgamucov  24809  lgamcvg2  24826  gamcvg  24827  gamcvg2lem  24830  regamcl  24832  relgamcl  24833  lgam1  24835  wilthlem1  24839  wilthlem2  24840  basellem1  24852  basellem6  24857  basellem8  24859  chtf  24879  efchtcl  24882  chtge0  24883  vmacl  24889  efvmacl  24891  sgmnncl  24918  chtprm  24924  chtdif  24929  efchtdvds  24930  prmorcht  24949  sgmppw  24967  vmalelog  24975  chtleppi  24980  chtublem  24981  fsumvma2  24984  pclogsum  24985  vmasum  24986  chpchtsum  24989  chpub  24990  logfacubnd  24991  logfaclbnd  24992  logfacbnd3  24993  logfacrlim  24994  logexprlim  24995  logfacrlim2  24996  perfectlem2  25000  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bposlem7  25060  bposlem9  25062  lgslem1  25067  lgsvalmod  25086  lgsmod  25093  lgsdirprm  25101  lgsne0  25105  lgsqrlem2  25117  gausslemma2dlem0i  25134  gausslemma2dlem5a  25140  gausslemma2d  25144  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  lgseisen  25149  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  m1lgs  25158  2sqlem8  25196  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem2  25204  chebbnd1lem3  25205  chebbnd1  25206  chtppilimlem1  25207  chtppilimlem2  25208  chtppilim  25209  chebbnd2  25211  chto1lb  25212  vmadivsum  25216  vmadivsumb  25217  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  dchrisum0lem1a  25220  rpvmasumlem  25221  dchrisumlema  25222  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem2  25224  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem1  25229  dchrvmasum2lem  25230  dchrvmasum2if  25231  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmasumiflem2  25236  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0lema  25248  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  dchrisum0lem2  25252  dchrisum0lem3  25253  dchrisum0  25254  dirith2  25262  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulogsum  25266  mulog2sumlem1  25268  mulog2sumlem2  25269  mulog2sumlem3  25270  vmalogdivsum2  25272  vmalogdivsum  25273  2vmadivsumlem  25274  logsqvma  25276  log2sumbnd  25278  selberglem1  25279  selberglem2  25280  selberglem3  25281  selberg  25282  selbergb  25283  selberg2lem  25284  selberg2  25285  selberg2b  25286  chpdifbndlem1  25287  logdivbnd  25290  selberg3lem1  25291  selberg3lem2  25292  selberg3  25293  selberg4lem1  25294  selberg4  25295  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd2  25301  selbergr  25302  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntsf  25307  pntsval2  25310  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntibndlem2  25325  pntlemn  25334  pntlemj  25337  pntlemf  25339  pntlemk  25340  pntlemo  25341  pnt  25348  padicabvcxp  25366  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  ostth2lem4  25370  ostth2  25371  ostth3  25372  clwwisshclwwslemlem  26970  numclwwlk5  27375  numclwwlk7  27378  ubthlem2  27855  minvecolem3  27860  lnconi  29020  ltesubnnd  29696  2sqmod  29776  madjusmdetlem2  30022  eulerpartlemgc  30552  reprle  30820  hgt750lemc  30853  hgt750lemd  30854  hgt750lemb  30862  hgt750leme  30864  tgoldbachgtde  30866  iprodgam  31754  faclimlem1  31755  faclimlem3  31757  faclim  31758  iprodfac  31759  knoppndvlem17  32644  poimirlem29  33568  heiborlem3  33742  heiborlem5  33744  heiborlem6  33745  heiborlem7  33746  heiborlem8  33747  heibor  33750  rrndstprj2  33760  rrncmslem  33761  rrnequiv  33764  irrapxlem5  37707  pell14qrgapw  37757  pellqrexplicit  37758  pellqrex  37760  pellfundge  37763  pellfundgt1  37764  jm3.1lem1  37901  jm3.1lem2  37902  hashnzfz2  38837  xralrple4  39902  recnnltrp  39906  rpgtrecnn  39910  fsumnncl  40121  limsup10exlem  40322  stoweidlem31  40566  stoweidlem59  40594  wallispilem3  40602  wallispi  40605  stirlinglem12  40620  stirlinglem15  40623  fourierdlem73  40714  etransclem23  40792  nnfoctbdjlem  40990  ovnsubaddlem1  41105  ovolval5lem1  41187  ovolval5lem2  41188  vonioolem1  41215  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  fmtnoprmfac1lem  41801  sfprmdvdsmersenne  41845  lighneallem2  41848  proththd  41856  perfectALTVlem2  41956  pw2m1lepw2m1  42635  logbge0b  42682  logblt1b  42683  logbpw2m1  42686  nnpw2pmod  42702  nnolog2flm1  42709  blennngt2o2  42711  dignnld  42722  digexp  42726  amgmlemALT  42877
  Copyright terms: Public domain W3C validator