Theorem nnrpd 12430

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℕcn 11638  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12431  modmulnn  13258  mulp1mod1  13281  modsumfzodifsn  13313  addmodlteq  13315  nnesq  13589  digit1  13599  bcpasc  13682  cshwn  14159  iseralt  15041  climcndslem2  15205  mertenslem1  15240  mertenslem2  15241  fprodmodd  15351  efcllem  15431  ege2le3  15443  eftlub  15462  effsumlt  15464  eirrlem  15557  sqrt2irrlem  15601  p1modz1  15614  dvdsmod  15678  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  bitscmp  15787  bitsinv1lem  15790  sadaddlem  15815  sadasslem  15819  bitsres  15822  smumul  15842  bezoutlem3  15889  eucalglt  15929  prmind2  16029  crth  16115  eulerthlem2  16119  fermltl  16121  prmdiv  16122  prmdiveq  16123  odzdvds  16132  vfermltlALT  16139  powm2modprm  16140  modprm0  16142  modprmn0modprm0  16144  prmreclem3  16254  prmreclem5  16256  prmreclem6  16257  4sqlem5  16278  4sqlem6  16279  4sqlem7  16280  4sqlem10  16283  4sqlem12  16292  vdwlem1  16317  mndodcong  18670  odmod  18674  oddvds  18675  dfod2  18691  gexexlem  18972  zringlpirlem3  20633  met1stc  23131  met2ndci  23132  lebnumlem3  23567  lebnumii  23570  ovollb2lem  24089  ovoliunlem1  24103  ovoliunlem3  24105  uniioombllem6  24189  itg2cnlem2  24363  elqaalem2  24909  aalioulem2  24922  aalioulem4  24924  aalioulem5  24925  aaliou2b  24930  aaliou3lem9  24939  logfac  25184  cxpeq  25338  logbgcd1irr  25372  leibpi  25520  birthdaylem2  25530  amgmlem  25567  emcllem1  25573  emcllem2  25574  emcllem3  25575  emcllem5  25577  harmoniclbnd  25586  harmonicubnd  25587  harmonicbnd4  25588  fsumharmonic  25589  zetacvg  25592  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem4  25609  lgamgulmlem5  25610  lgamgulmlem6  25611  lgamgulm2  25613  lgambdd  25614  lgamucov  25615  lgamcvg2  25632  gamcvg  25633  gamcvg2lem  25636  regamcl  25638  relgamcl  25639  lgam1  25641  wilthlem1  25645  wilthlem2  25646  basellem1  25658  basellem6  25663  basellem8  25665  chtf  25685  efchtcl  25688  chtge0  25689  vmacl  25695  efvmacl  25697  sgmnncl  25724  chtprm  25730  chtdif  25735  efchtdvds  25736  prmorcht  25755  sgmppw  25773  vmalelog  25781  chtleppi  25786  chtublem  25787  fsumvma2  25790  pclogsum  25791  vmasum  25792  chpchtsum  25795  chpub  25796  logfacubnd  25797  logfaclbnd  25798  logfacbnd3  25799  logfacrlim  25800  logexprlim  25801  logfacrlim2  25802  perfectlem2  25806  bclbnd  25856  bposlem1  25860  bposlem2  25861  bposlem4  25863  bposlem5  25864  bposlem6  25865  bposlem7  25866  bposlem9  25868  lgslem1  25873  lgsvalmod  25892  lgsmod  25899  lgsdirprm  25907  lgsne0  25911  lgsqrlem2  25923  gausslemma2dlem0i  25940  gausslemma2dlem5a  25946  gausslemma2d  25950  lgseisenlem1  25951  lgseisenlem2  25952  lgseisenlem3  25953  lgseisenlem4  25954  lgseisen  25955  lgsquadlem2  25957  lgsquadlem3  25958  m1lgs  25964  2sqlem8  26002  2sqmod  26012  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1lem3  26047  chebbnd1  26048  chtppilimlem1  26049  chtppilimlem2  26050  chtppilim  26051  chebbnd2  26053  chto1lb  26054  vmadivsum  26058  vmadivsumb  26059  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  dchrisum0lem1a  26062  rpvmasumlem  26063  dchrisumlema  26064  dchrisumlem1  26065  dchrisumlem2  26066  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2lem  26072  dchrvmasum2if  26073  dchrvmasumlem2  26074  dchrvmasumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26077  dchrvmasumiflem2  26078  dchrisum0flblem2  26085  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0lema  26090  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  dchrisum0  26096  dirith2  26104  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulogsum  26108  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  mulog2sumlem3  26112  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  logsqvma  26118  log2sumbnd  26120  selberglem1  26121  selberglem2  26122  selberglem3  26123  selberg  26124  selbergb  26125  selberg2lem  26126  selberg2  26127  selberg2b  26128  chpdifbndlem1  26129  logdivbnd  26132  selberg3lem1  26133  selberg3lem2  26134  selberg3  26135  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrsumo1  26141  pntrsumbnd2  26143  selbergr  26144  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntsf  26149  pntsval2  26152  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1a  26161  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemn  26176  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  pnt  26190  padicabvcxp  26208  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  ostth2lem4  26212  ostth2  26213  ostth3  26214  clwwisshclwwslemlem  27791  numclwwlk5  28167  numclwwlk7  28170  ubthlem2  28648  minvecolem3  28653  lnconi  29810  prmdvdsbc  30532  ltesubnnd  30538  cshwrnid  30635  cycpmfv2  30756  madjusmdetlem2  31093  eulerpartlemgc  31620  reprle  31885  hgt750lemc  31918  hgt750lemd  31919  hgt750lemb  31927  hgt750leme  31929  tgoldbachgtde  31931  iprodgam  32974  faclimlem1  32975  faclimlem3  32977  faclim  32978  iprodfac  32979  knoppndvlem17  33867  poimirlem29  34936  heiborlem3  35106  heiborlem5  35108  heiborlem6  35109  heiborlem7  35110  heiborlem8  35111  heibor  35114  rrndstprj2  35124  rrncmslem  35125  rrnequiv  35128  zrtelqelz  39241  rtprmirr  39243  fltne  39321  fltltc  39322  fltnltalem  39323  fltnlta  39324  irrapxlem5  39472  pell14qrgapw  39522  pellqrexplicit  39523  pellqrex  39525  pellfundge  39528  pellfundgt1  39529  jm3.1lem1  39663  jm3.1lem2  39664  hashnzfz2  40702  xralrple4  41690  recnnltrp  41694  rpgtrecnn  41698  fsumnncl  41901  limsup10exlem  42102  stoweidlem31  42365  stoweidlem59  42393  wallispilem3  42401  wallispi  42404  stirlinglem12  42419  stirlinglem15  42422  fourierdlem73  42513  etransclem23  42591  nnfoctbdjlem  42786  ovnsubaddlem1  42901  ovolval5lem1  42983  ovolval5lem2  42984  vonioolem1  43011  vonioolem2  43012  vonicclem2  43015  fmtnoprmfac1lem  43775  sfprmdvdsmersenne  43817  lighneallem2  43820  proththd  43828  perfectALTVlem2  43936  fppr2odd  43945  fpprwppr  43953  fpprel2  43955  pw2m1lepw2m1  44624  logbge0b  44672  logblt1b  44673  logbpw2m1  44676  nnpw2pmod  44692  nnolog2flm1  44699  blennngt2o2  44701  dignnld  44712  digexp  44716  amgmlemALT  44953