Theorem salpreimaltle 43010

Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimaltle.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimaltle.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimaltle.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimaltle	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimaltle.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimaltle.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimaltle.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimaleiinlt 43006	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5		salpreimaltle.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 13352	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 41654	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		nnrecre 11682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	12	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 10672	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	3, 14	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16		salpreimaltle.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
17		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
18	16, 17	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
20	18, 19	nfim 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21		ovex 7191	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22		eleq1 2902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
23	22	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24		breq2 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎 ↔ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
25	24	rabbidv 3482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26	25	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
27	23, 26	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28		salpreimaltle.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
29	20, 21, 27, 28	vtoclf 3560	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
30	10, 15, 29	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
31	5, 7, 9, 30	saliincl 42617	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
32	4, 31	eqeltrd 2915	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {crab 3144  ∅c0 4293  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ωcom 7582   ≼ cdom 8509  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  ℕcn 11640  SAlgcsalg 42600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-fl 13165  df-salg 42601

This theorem is referenced by:  issmfle  43029