Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimaltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimaltle 39409
Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimaltle.x 𝑥𝜑
salpreimaltle.a 𝑎𝜑
salpreimaltle.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimaltle (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimaltle.x . . 3 𝑥𝜑
2 salpreimaltle.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 salpreimaltle.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
41, 2, 3preimaleiinlt 39405 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5 salpreimaltle.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 nnct 12597 . . . 4 ℕ ≼ ω
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8 nnn0 38333 . . . 4 ℕ ≠ ∅
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10 simpl 471 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11 simpl 471 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 nnrecre 10904 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1312adantl 480 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 9925 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
153, 14sylan 486 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16 salpreimaltle.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
17 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
1816, 17nfan 1815 . . . . . 6 𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19 nfv 1829 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
2018, 19nfim 1812 . . . . 5 𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21 ovex 6555 . . . . 5 (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
2322anbi2d 735 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24 breq2 4581 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2524rabbidv 3163 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2625eleq1d 2671 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
2723, 26imbi12d 332 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28 salpreimaltle.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
2920, 21, 27, 28vtoclf 3230 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
3010, 15, 29syl2anc 690 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
315, 7, 9, 30saliincl 39018 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
324, 31eqeltrd 2687 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1976  wne 2779  {crab 2899  c0 3873   ciin 4450   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  ωcom 6934  cdom 7816  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  cn 10867  SAlgcsalg 39001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-card 8625  df-acn 8628  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-fl 12410  df-salg 39002
This theorem is referenced by:  issmfle  39429
  Copyright terms: Public domain W3C validator