Theorem signshf 31858

Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshf	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 10950	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
3		0re 10643	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		s1cl 13956	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ
6		ccatcl 13926	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
7	5, 6	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8		wrdf 13867	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10		1cnd 10636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 1 ∈ ℂ)
11		lencl 13883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
13		ccatlen 13927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
14	5, 13	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
15		s1len 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“0”⟩) = 1
16	15	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹))
17	14, 16	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹)))
18	10, 12, 17	comraddd 10854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
19	18	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
20	19	feq2d 6500	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
21	9, 20	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
22	21	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
23		remulcl 10622	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
24	23	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
25		ccatcl 13926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
26	5, 25	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
27		wrdf 13867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
29		ccatws1len 13974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
30	29	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
31	30	feq2d 6500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
32	28, 31	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
33	32	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
34		ovexd 7191	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∈ V)
35		rpre 12398	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
37	24, 33, 34, 36	ofcf 31362	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38		inidm 4195	. . 3 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((♯‘𝐹) + 1))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1))
39	2, 22, 37, 34, 34, 38	off 7424	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
40		signs.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
41	40	feq1i 6505	. 2 ⊢ (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
42	39, 41	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494  ifcif 4467  {cpr 4569  {ctp 4571  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ∘_f cof 7407  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  -cneg 10871  ℝ⁺crp 12390  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949  sgncsgn 14445  Σcsu 15042  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565   Σ_g cgsu 16714   ∘_f/c cofc 31354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-ofc 31355

This theorem is referenced by:  signshwrd  31859  signshlen  31860