Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signshf 30442
Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
Assertion
Ref Expression
signshf ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubcl 10289 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 482 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3 0red 9985 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
43s1cld 13322 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6 ccatcl 13298 . . . . . 6 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8 wrdf 13249 . . . . 5 ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10 ccatlen 13299 . . . . . . . . 9 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)))
114, 5, 10syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)))
12 s1len 13324 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“0”⟩) = 1
1312oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)) = (1 + (#‘𝐹))
1411, 13syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (#‘𝐹)))
15 1cnd 10000 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
16 wrdfin 13262 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 ∈ Fin)
17 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
185, 16, 173syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 11297 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
2015, 19addcomd 10182 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 + (#‘𝐹)) = ((#‘𝐹) + 1))
2114, 20eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘𝐹) + 1))
2221oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
2322feq2d 5988 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
249, 23mpbid 222 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
25 remulcl 9965 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27 ccatcl 13298 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
284, 27syldan 487 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
29 wrdf 13249 . . . . . 6 ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
31 ccatlen 13299 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)))
324, 31syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)))
3312oveq2i 6615 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1)
3432, 33syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1))
3534oveq2d 6620 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
3635feq2d 5988 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
3730, 36mpbid 222 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38 ovex 6632 . . . . 5 (0..^((#‘𝐹) + 1)) ∈ V
3938a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((#‘𝐹) + 1)) ∈ V)
40 simpr 477 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4140rpred 11816 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
4226, 37, 39, 41ofcf 29943 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
43 inidm 3800 . . 3 ((0..^((#‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((#‘𝐹) + 1))) = (0..^((#‘𝐹) + 1))
442, 24, 42, 39, 39, 43off 6865 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
45 signs.h . . 3 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
4645feq1i 5993 . 2 (𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
4744, 46sylibr 224 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  ifcif 4058  {cpr 4150  {ctp 4152  cop 4154  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  𝑓 cof 6848  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211  0cn0 11236  +crp 11776  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  sgncsgn 13760  Σcsu 14350  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862   Σg cgsu 16022  𝑓/𝑐cofc 29935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-ofc 29936
This theorem is referenced by:  signshwrd  30443  signshlen  30444
  Copyright terms: Public domain W3C validator