Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem2 40781
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfsuplem2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2
Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2762 . . 3 𝑛𝐹
2 smfsuplem2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfsuplem2.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsuplem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2620 . . 3 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6 eqid 2620 . . 3 (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7 mnfxr 10081 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9 smfsuplem2.8 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
108, 9, 5, 6iocborel 40337 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10smfpimcc 40777 . 2 (𝜑 → ∃(:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))))
12 smfsuplem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
143adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
154adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16 smfsuplem2.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17 fveq2 6178 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1817dmeqd 5315 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
1918cbviinv 4551 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
21 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
2221breq1d 4654 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2322ralbidv 2983 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2417fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
2524breq1d 4654 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2625cbvralv 3166 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2823, 27bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2928rexbidv 3048 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
3020, 29cbvrabv2 39131 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
3116, 30eqtri 2642 . . . . 5 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32 smfsuplem2.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3321mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
3424cbvmptv 4741 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3633, 35eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3736rneqd 5342 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3837supeq1d 8337 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
3938cbvmptv 4741 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
4032, 39eqtri 2642 . . . . 5 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
419adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → :𝑍𝑆)
43 simplrr 800 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
4417cnveqd 5287 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚(𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
4544imaeq1d 5453 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46 fveq2 6178 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛) = (𝑚))
4746, 18ineq12d 3807 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
4845, 47eqeq12d 2635 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ↔ ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚))))
4948rspccva 3303 . . . . . 6 ((∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
5043, 49sylancom 700 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
5113, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50smfsuplem1 40780 . . . 4 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
5251ex 450 . . 3 (𝜑 → ((:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5352exlimdv 1859 . 2 (𝜑 → (∃(:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5411, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  cin 3566   ciin 4512   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  cima 5107  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  supcsup 8331  cr 9920  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cz 11362  cuz 11672  (,)cioo 12160  (,]cioc 12161  t crest 16062  topGenctg 16079  SAlgcsalg 40291  SalGencsalgen 40295  SMblFncsmblfn 40672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-ac 8924  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-fl 12576  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-bases 20731  df-salg 40292  df-salgen 40296  df-smblfn 40673
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  40782
  Copyright terms: Public domain W3C validator