MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfzo0 12407
Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
subfzo0 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12331 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 elfzo0 12331 . . . . 5 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3 nn0re 11148 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
43adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5 nnre 10874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0re 11148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℝ)
7 resubcl 10196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
98ancoms 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
1093adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
114, 10anim12i 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐽) ∈ ℝ))
12 nn0ge0 11165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14 posdif 10370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝐽)))
156, 5, 14syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝐽)))
1615biimp3a 1423 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝐽))
1713, 16anim12i 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁𝐽)))
18 addgegt0 10364 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁𝐽)))
1911, 17, 18syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁𝐽)))
20 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
2221adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
2524adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26 nncn 10875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27263ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2922, 25, 28subadd23d 10265 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁𝐽)))
3019, 29breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼𝐽) + 𝑁))
3163ad2ant1 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32 resubcl 10196 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
334, 31, 32syl2an 492 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
3453ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3534adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3633, 35possumd 10501 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼𝐽)))
3730, 36mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼𝐽))
383adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
3934adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
416, 5, 40syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42413adant3 1073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
4438, 39, 433jca 1234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45 nn0ge0 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46453ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
485, 6anim12i 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
4948ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50493adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52 addge02 10388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
5447, 53mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
5544, 54lelttrdi 10050 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
5655impancom 454 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
5756imp 443 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
584adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
5931adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6058, 59, 35ltsubadd2d 10474 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼𝐽) < 𝑁𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
6157, 60mpbird 245 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼𝐽) < 𝑁)
6237, 61jca 552 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
6362ex 448 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
642, 63syl5bi 230 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
65643adant2 1072 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
661, 65sylbi 205 . 2 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
6766imp 443 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118  cn 10867  0cn0 11139  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  addmodlteq  12562
  Copyright terms: Public domain W3C validator