MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posdif 11122
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 10939 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ltaddpos 11119 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
52, 3, 4syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
6 recn 10616 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 recn 10616 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8 pncan3 10883 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
96, 7, 8syl2an 595 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
109breq2d 5070 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
115, 10bitr2d 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   < clt 10664  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  posdifi  11179  posdifd  11216  nnsub  11670  nn0sub  11936  znnsub  12017  rpnnen1lem5  12370  difrp  12417  qbtwnre  12582  eluzgtdifelfzo  13089  subfzo0  13149  expnbnd  13583  expmulnbnd  13586  pfxccatin12lem3  14084  eflt  15460  cos01gt0  15534  ndvdsadd  15751  nn0seqcvgd  15904  prmgaplem7  16383  cshwshashlem2  16420  dvcvx  24546  abelthlem7  24955  sinq12gt0  25022  cosq14gt0  25025  cosne0  25041  tanregt0  25050  logdivlti  25130  logcnlem4  25155  scvxcvx  25491  perfectlem2  25734  rplogsumlem2  25989  dchrisum0flblem1  26012  crctcshwlkn0lem3  27518  crctcshwlkn0lem7  27522  mblfinlem3  34813  mblfinlem4  34814  dvasin  34860  geomcau  34917  bfp  34985  perfectALTVlem2  43734
  Copyright terms: Public domain W3C validator