MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posdif 10473
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 10297 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ltaddpos 10470 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
52, 3, 4syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
6 recn 9978 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 recn 9978 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8 pncan3 10241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
96, 7, 8syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
109breq2d 4630 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
115, 10bitr2d 269 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891   < clt 10026  cmin 10218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220  df-neg 10221
This theorem is referenced by:  posdifi  10530  posdifd  10566  nnsub  11011  nn0sub  11295  znnsub  11375  rpnnen1lem5  11770  rpnnen1lem5OLD  11776  difrp  11820  qbtwnre  11981  eluzgtdifelfzo  12478  subfzo0  12538  expnbnd  12941  expmulnbnd  12944  swrdccatin12lem3  13435  eflt  14783  cos01gt0  14857  ndvdsadd  15069  nn0seqcvgd  15218  prmgaplem7  15696  cshwshashlem2  15738  dvcvx  23704  abelthlem7  24113  sinq12gt0  24180  cosq14gt0  24183  cosne0  24197  tanregt0  24206  logdivlti  24287  logcnlem4  24308  scvxcvx  24629  perfectlem2  24872  rplogsumlem2  25091  dchrisum0flblem1  25114  crctcshwlkn0lem3  26590  crctcshwlkn0lem7  26594  numclwwlkovf2ex  27092  mblfinlem3  33115  mblfinlem4  33116  dvasin  33163  geomcau  33222  bfp  33290  perfectALTVlem2  40952
  Copyright terms: Public domain W3C validator