Theorem subrgugrp 18720

Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgugrp.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgugrp.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgugrp	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgugrp.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		subrgugrp.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		subrgugrp.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
4	1, 2, 3	subrguss 18716	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
5	1	subrgring 18704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
7	3, 6	1unit 18579	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑉)
8		ne0i 3897	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	5, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10		eqid 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ressmulr 15927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	3ad2ant1 1080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
13	12	oveqd 6621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦))
14		eqid 2621	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
15	3, 14	unitmulcl 18585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
16	5, 15	syl3an1 1356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
17	13, 16	eqeltrd 2698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18	17	3expa 1262	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
19	18	ralrimiva 2960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20		eqid 2621	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
21		eqid 2621	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
22	1, 20, 3, 21	subrginv 18717	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invr‘𝑆)‘𝑥))
23	3, 21	unitinvcl 18595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
24	5, 23	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
25	22, 24	eqeltrd 2698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
26	19, 25	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
27	26	ralrimiva 2960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28		subrgrcl 18706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29		subrgugrp.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
30	2, 29	unitgrp 18588	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
31	2, 29	unitgrpbas 18587	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
32		fvex 6158	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) ∈ V
33	2, 32	eqeltri 2694	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
34		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
35	34, 10	mgpplusg 18414	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
36	29, 35	ressplusg 15914	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
37	33, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
38	2, 29, 20	invrfval 18594	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
39	31, 37, 38	issubg2 17530	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
40	28, 30, 39	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
41	4, 9, 27, 40	mpbir3and 1243	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↾_s cress 15782  +_gcplusg 15862  ._rcmulr 15863  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  mulGrpcmgp 18410  1_rcur 18422  Ringcrg 18468  Unitcui 18560  inv_rcinvr 18592  SubRingcsubrg 18697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-subrg 18699

This theorem is referenced by: (None)