Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocnv 36830
Description: Converse of a trace-preserving endomorphism value. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐹))

Proof of Theorem tendocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendosp.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendosp.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendosp.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4tendocl 36575 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
6 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 2, 3ltrn1o 35931 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
81, 5, 7syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
9 f1ococnv1 6327 . . . 4 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1110coeq1d 5439 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)))
12 simp2 1132 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝑆𝐸)
136, 2, 4tendoid 36581 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
141, 12, 13syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
156, 2, 3ltrn1o 35931 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16153adant2 1126 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
17 f1ococnv2 6325 . . . . . . . . 9 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1918fveq2d 6357 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆‘(𝐹𝐹)) = (𝑆‘( I ↾ (Base‘𝐾))))
20 f1ococnv2 6325 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
218, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2214, 19, 213eqtr4rd 2805 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆‘(𝐹𝐹)))
23 simp3 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
242, 3ltrncnv 35953 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
25243adant2 1126 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
262, 3, 4tendospdi1 36829 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝐹𝑇𝐹𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
271, 12, 23, 25, 26syl13anc 1479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆‘(𝐹𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
2822, 27eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
2928coeq2d 5440 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹))) = ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹))))
30 coass 5815 . . . 4 (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
31 coass 5815 . . . 4 (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = ((𝑆𝐹) ∘ ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)))
3229, 30, 313eqtr4g 2819 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)))
3310coeq1d 5439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)))
342, 3, 4tendocl 36575 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
3525, 34syld3an3 1516 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
366, 2, 3ltrn1o 35931 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
371, 35, 36syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
38 f1of 6299 . . . 4 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
39 fcoi2 6240 . . . 4 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4037, 38, 393syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4132, 33, 403eqtrd 2798 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐹)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
422, 3ltrncnv 35953 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
431, 5, 42syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
446, 2, 3ltrn1o 35931 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
451, 43, 44syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46 f1of 6299 . . 3 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47 fcoi2 6240 . . 3 ((𝑆𝐹):(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4845, 46, 473syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ (𝑆𝐹)) = (𝑆𝐹))
4911, 41, 483eqtr3rd 2803 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   I cid 5173  ccnv 5265  cres 5268  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  Basecbs 16079  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  TEndoctendo 36560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tendo 36563
This theorem is referenced by:  tendospcanN  36832  dihjatcclem4  37230
  Copyright terms: Public domain W3C validator