MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ococnv1 6122
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 6097 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
2 dfrel2 5542 . . . 4 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
31, 2sylib 208 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = 𝐹)
43coeq2d 5244 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐹))
5 f1ocnv 6106 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
6 f1ococnv2 6120 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
75, 6syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
84, 7eqtr3d 2657 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480   I cid 4984  ccnv 5073  cres 5076  ccom 5078  Rel wrel 5079  1-1-ontowf1o 5846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  6123  f1ocnvfv1  6486  fcof1oinvd  6502  mapen  8068  mapfien  8257  hashfacen  13176  setcinv  16661  catcisolem  16677  symggrp  17741  f1omvdco2  17789  pf1mpf  19635  ufldom  21676  motgrp  25338  fcobij  29340  symgfcoeu  29627  subfacp1lem5  30871  ltrncoidN  34891  trlcoabs2N  35487  trlcoat  35488  trlcone  35493  cdlemg47  35501  tgrpgrplem  35514  tendoipl  35562  cdlemi2  35584  cdlemk2  35597  cdlemk4  35599  cdlemk8  35603  tendocnv  35787  dvhgrp  35873  cdlemn8  35970  dihopelvalcpre  36014  dssmap2d  37795  rngcinv  41266  rngcinvALTV  41278  ringcinv  41317  ringcinvALTV  41341
  Copyright terms: Public domain W3C validator