MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwndiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwndiff 25318
Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (#‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwndiff.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwndiff.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwndiff.l (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
tgbtwndiff (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐))
Distinct variable groups:   ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwndiff.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwndiff.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 tgbtwndiff.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwndiff.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 765 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwndiff.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76ad3antrrr 765 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwndiff.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98ad3antrrr 765 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐵𝑃)
10 simpllr 798 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑃)
11 simplr 791 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣𝑃)
121, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11axtgsegcon 25280 . . 3 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)))
135ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1410ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢𝑃)
1511ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣𝑃)
169ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵𝑃)
17 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
1817oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 𝐵) = (𝐵 𝑐))
19 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣))
2018, 19eqtr2d 2656 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 𝑣) = (𝐵 𝐵))
211, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20axtgcgrid 25279 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22 simp-4r 806 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢𝑣)
2322neneqd 2795 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
2421, 23pm2.65da 599 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
2524neqned 2797 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → 𝐵𝑐)
2625ex 450 . . . . 5 (((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣) → 𝐵𝑐))
2726anim2d 588 . . . 4 (((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐)))
2827reximdva 3012 . . 3 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → (∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐)))
2912, 28mpd 15 . 2 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐))
30 tgbtwndiff.l . . 3 (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
311, 2, 3, 4, 30tglowdim1 25312 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 𝑢𝑣)
3229, 31r19.29vva 3074 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cle 10027  2c2 11022  #chash 13065  Basecbs 15792  distcds 15882  TarskiGcstrkg 25246  Itvcitv 25252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-hash 13066  df-trkgc 25264  df-trkgcb 25266  df-trkg 25269
This theorem is referenced by:  tgifscgr  25320  tgcgrxfr  25330  tgbtwnconn3  25389  legtrid  25403  hlcgrex  25428  hlcgreulem  25429  midexlem  25504  hpgerlem  25574
  Copyright terms: Public domain W3C validator