MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfscgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgfscgr 25181
Description: Congruence law for the general five segment configuration. Theorem 4.16 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
tgfscgr.t (𝜑𝑇𝑃)
tgfscgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgfscgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgfscgr.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
tgfscgr.2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
tgfscgr.3 (𝜑 → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
tgfscgr.4 (𝜑 → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
tgfscgr.5 (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
tgfscgr (𝜑 → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem tgfscgr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
8 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
10 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
12 lnxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
14 lnxfr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
16 tgfscgr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1716adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
18 tgfscgr.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑃)
1918adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑇𝑃)
20 tgfscgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
2120adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐷𝑃)
22 tgfscgr.5 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
2322adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑌)
24 simpr 475 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 lnxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
26 tgfscgr.2 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2726adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
281, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27, 24tgbtwnxfr 25143 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
291, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp1 25133 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
301, 2, 3, 25, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 27cgr3simp2 25134 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝐶))
31 tgfscgr.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
3231adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
33 tgfscgr.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
3433adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 28, 29, 30, 32, 34axtg5seg 25081 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
364adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
378adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
386adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
3910adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
4014adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐵𝑃)
4112adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
4216adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐶𝑃)
4318adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑇𝑃)
4420adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐷𝑃)
4522necomd 2836 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4645adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑌𝑋)
47 simpr 475 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
4826adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
491, 2, 3, 25, 36, 38, 37, 39, 41, 40, 42, 48cgr3swap12 25136 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
501, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 47tgbtwnxfr 25143 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
511, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp1 25133 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
521, 2, 3, 25, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49cgr3simp2 25134 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝐶))
5333adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
5431adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
551, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54axtg5seg 25081 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
564adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
576adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
5810adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
598adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
6018adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑇𝑃)
6112adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
6216adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶𝑃)
6314adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
6420adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐷𝑃)
65 simpr 475 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6626adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
671, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3swap23 25137 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩)
681, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67, 65tgbtwnxfr 25143 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
691, 2, 3, 25, 56, 57, 59, 58, 61, 63, 62, 66cgr3simp1 25133 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
701, 2, 3, 25, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 67cgr3simp2 25134 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 𝑌) = (𝐶 𝐵))
7131adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑇) = (𝐴 𝐷))
7233adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑌 𝑇) = (𝐵 𝐷))
731, 2, 3, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72tgifscgr 25121 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
74 tgfscgr.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 6, 10, 8tgcolg 25167 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 220 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7835, 55, 73, 77mpjao3dan 1386 1 (𝜑 → (𝑍 𝑇) = (𝐶 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  ⟨“cs3 13384  Basecbs 15641  distcds 15723  TarskiGcstrkg 25046  Itvcitv 25052  LineGclng 25053  cgrGccgrg 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-trkgc 25064  df-trkgb 25065  df-trkgcb 25066  df-trkg 25069  df-cgrg 25124
This theorem is referenced by:  lncgr  25182  mirtrcgr  25296  symquadlem  25302  cgracgr  25428  cgraswap  25430  cgrg3col4  25452
  Copyright terms: Public domain W3C validator