Theorem tglineinteq 26417

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tglineinteq.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
tglineinteq.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tglineinteq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineinteq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineinteq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2		tglineinteq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	3, 5, 4, 6, 7, 8, 1	tglngne 26322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tgelrnln 26402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
11		tglineinteq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tglineinteq.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		tglineinteq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
14	3, 5, 4, 6, 11, 12, 13	tglngne 26322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
15	3, 4, 5, 6, 11, 12, 14	tgelrnln 26402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
16		tglineinteq.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 16	tglineneq 26416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
18	3, 4, 5, 6, 10, 15, 17	tglineintmo 26414	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
19	1, 13	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20		tglineinteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21	2, 20	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
22		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
23		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
24	22, 23	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
25		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
26		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
27	25, 26	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
28	24, 27	moi 3700	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ ((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))) → 𝑋 = 𝑌)
29	1, 2, 18, 19, 21, 28	syl212anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2620  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  Basecbs 16466  TarskiGcstrkg 26202  Itvcitv 26208  LineGclng 26209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-n0 11885  df-xnn0 11955  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13908  df-s1 13935  df-s2 14195  df-s3 14196  df-trkgc 26220  df-trkgb 26221  df-trkgcb 26222  df-trkg 26225  df-cgrg 26283

This theorem is referenced by:  symquadlem  26461  midexlem  26464  outpasch  26527  hlpasch  26528  tgasa1  26630