MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineinteq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineinteq 25521
Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a (𝜑𝐴𝑃)
tglineinteq.b (𝜑𝐵𝑃)
tglineinteq.c (𝜑𝐶𝑃)
tglineinteq.d (𝜑𝐷𝑃)
tglineinteq.e (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tglineinteq.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
tglineinteq.4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
Assertion
Ref Expression
tglineinteq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineinteq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineinteq.1 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2 tglineinteq.2 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineinteq.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
8 tglineinteq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
93, 5, 4, 6, 7, 8, 1tglngne 25426 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgelrnln 25506 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
11 tglineinteq.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
12 tglineinteq.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
13 tglineinteq.3 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
143, 5, 4, 6, 11, 12, 13tglngne 25426 . . . 4 (𝜑𝐶𝐷)
153, 4, 5, 6, 11, 12, 14tgelrnln 25506 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
16 tglineinteq.e . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
173, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 16tglineneq 25520 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
183, 4, 5, 6, 10, 15, 17tglineintmo 25518 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
191, 13jca 554 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20 tglineinteq.4 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
212, 20jca 554 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
22 eleq1 2687 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
23 eleq1 2687 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
2422, 23anbi12d 746 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
25 eleq1 2687 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
26 eleq1 2687 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
2725, 26anbi12d 746 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
2824, 27moi 3383 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ ((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))) → 𝑋 = 𝑌)
291, 2, 18, 19, 21, 28syl212anc 1334 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  ∃*wmo 2469  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  TarskiGcstrkg 25310  Itvcitv 25316  LineGclng 25317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-s1 13285  df-s2 13574  df-s3 13575  df-trkgc 25328  df-trkgb 25329  df-trkgcb 25330  df-trkg 25333  df-cgrg 25387
This theorem is referenced by:  symquadlem  25565  midexlem  25568  outpasch  25628  hlpasch  25629  tgasa1  25720
  Copyright terms: Public domain W3C validator