HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopadj2 28646
Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj2 (𝑇 ∈ UniOp → (adj𝑇) = 𝑇)

Proof of Theorem unopadj2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 28628 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2 lnopf 28567 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 cnvunop 28626 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)
5 unoplin 28628 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6 lnopf 28567 . . 3 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
74, 5, 63syl 18 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8 unopadj 28627 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
983expib 1265 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
109ralrimivv 2964 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
11 adjeq 28643 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))) → (adj𝑇) = 𝑇)
123, 7, 10, 11syl3anc 1323 1 (𝑇 ∈ UniOp → (adj𝑇) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ccnv 5073  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  chil 27625   ·ih csp 27628  LinOpclo 27653  UniOpcuo 27655  adjcado 27661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716  ax-hfi 27785  ax-his1 27788  ax-his2 27789  ax-his3 27790  ax-his4 27791
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-hvsub 27677  df-lnop 28549  df-unop 28551  df-adjh 28557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator