MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnr 11793
Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltnr (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr
StepHypRef Expression
1 elxr 11788 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 ltnr 9984 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3 pnfnre 9938 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
43neli 2885 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
54intnan 951 . . . . . . . 8 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
65intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞)
7 pnfnemnf 11789 . . . . . . . . 9 +∞ ≠ -∞
87neii 2784 . . . . . . . 8 ¬ +∞ = -∞
98intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
106, 9pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
114intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
124intnan 951 . . . . . . 7 ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
1311, 12pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
1410, 13pm3.2ni 895 . . . . 5 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15 pnfxr 11784 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
16 ltxr 11787 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
1715, 15, 16mp2an 704 . . . . 5 (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
1814, 17mtbir 312 . . . 4 ¬ +∞ < +∞
19 breq12 4583 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
2019anidms 675 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
2118, 20mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22 mnfnre 9939 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
2322neli 2885 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
2423intnan 951 . . . . . . . 8 ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
2524intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞)
267nesymi 2839 . . . . . . . 8 ¬ -∞ = +∞
2726intnan 951 . . . . . . 7 ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
2825, 27pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
2923intnanr 952 . . . . . . 7 ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
3023intnan 951 . . . . . . 7 ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
3129, 30pm3.2ni 895 . . . . . 6 ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
3228, 31pm3.2ni 895 . . . . 5 ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33 mnfxr 11786 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
34 ltxr 11787 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
3533, 33, 34mp2an 704 . . . . 5 (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
3632, 35mtbir 312 . . . 4 ¬ -∞ < -∞
37 breq12 4583 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
3837anidms 675 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
3936, 38mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
402, 21, 393jaoi 1383 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
411, 40sylbi 206 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3o 1030   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4578  cr 9792   < cltrr 9797  +∞cpnf 9928  -∞cmnf 9929  *cxr 9930   < clt 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936
This theorem is referenced by:  xrltnsym  11808  xrlttri  11810  nltpnft  11833  ngtmnft  11834  xrsupsslem  11968  xrinfmsslem  11969  xrub  11973  lbioo  12036  ubioo  12037  topnfbey  26511  lbioc  38380  icoub  38393  iccpartnel  39771
  Copyright terms: Public domain W3C validator