MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnr 12166
Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltnr (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr
StepHypRef Expression
1 elxr 12163 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 ltnr 10344 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3 pnfnre 10293 . . . . . . . . . 10 +∞ ∉ ℝ
43neli 3037 . . . . . . . . 9 ¬ +∞ ∈ ℝ
54intnan 998 . . . . . . . 8 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
65intnanr 999 . . . . . . 7 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞)
7 pnfnemnf 10306 . . . . . . . . 9 +∞ ≠ -∞
87neii 2934 . . . . . . . 8 ¬ +∞ = -∞
98intnanr 999 . . . . . . 7 ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
106, 9pm3.2ni 935 . . . . . 6 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
114intnanr 999 . . . . . . 7 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
124intnan 998 . . . . . . 7 ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
1311, 12pm3.2ni 935 . . . . . 6 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
1410, 13pm3.2ni 935 . . . . 5 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15 pnfxr 10304 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
16 ltxr 12162 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
1715, 15, 16mp2an 710 . . . . 5 (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ < +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
1814, 17mtbir 312 . . . 4 ¬ +∞ < +∞
19 breq12 4809 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
2019anidms 680 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
2118, 20mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22 mnfnre 10294 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
2322neli 3037 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
2423intnan 998 . . . . . . . 8 ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
2524intnanr 999 . . . . . . 7 ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞)
267nesymi 2989 . . . . . . . 8 ¬ -∞ = +∞
2726intnan 998 . . . . . . 7 ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
2825, 27pm3.2ni 935 . . . . . 6 ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
2923intnanr 999 . . . . . . 7 ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
3023intnan 998 . . . . . . 7 ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
3129, 30pm3.2ni 935 . . . . . 6 ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
3228, 31pm3.2ni 935 . . . . 5 ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33 mnfxr 10308 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
34 ltxr 12162 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
3533, 33, 34mp2an 710 . . . . 5 (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
3632, 35mtbir 312 . . . 4 ¬ -∞ < -∞
37 breq12 4809 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
3837anidms 680 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
3936, 38mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
402, 21, 393jaoi 1540 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
411, 40sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cr 10147   < cltrr 10152  +∞cpnf 10283  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291
This theorem is referenced by:  xrltnsym  12183  xrlttri  12185  nltpnft  12208  ngtmnft  12210  xrsupsslem  12350  xrinfmsslem  12351  xrub  12355  lbioo  12419  ubioo  12420  topnfbey  27657  lbioc  40260  icoub  40273  iccpartnel  41902
  Copyright terms: Public domain W3C validator