Theorem ovl 117

Description: Evaluate a lambda expression in a binary operation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovl.1	⊢ A:γ
ovl.2	⊢ S:α
ovl.3	⊢ T:β
ovl.4	⊢ [x:α = S]⊧[A = B]
ovl.5	⊢ [y:β = T]⊧[B = C]

Assertion

Ref	Expression
ovl	⊢ ⊤⊧[[Sλx:α λy:β AT] = C]

Distinct variable groups:   x,B   y,C   x,y,S   y,T   α,x   β,y

Proof of Theorem ovl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovl.1	. . . . 5 ⊢ A:γ
2	1	wl 66	. . . 4 ⊢ λy:β A:(β → γ)
3	2	wl 66	. . 3 ⊢ λx:α λy:β A:(α → (β → γ))
4		ovl.2	. . 3 ⊢ S:α
5		ovl.3	. . 3 ⊢ T:β
6	3, 4, 5	wov 72	. 2 ⊢ [Sλx:α λy:β AT]:γ
7		weq 41	. . . 4 ⊢ = :(γ → (γ → ∗))
8	3, 4	wc 50	. . . . 5 ⊢ (λx:α λy:β AS):(β → γ)
9	8, 5	wc 50	. . . 4 ⊢ ((λx:α λy:β AS)T):γ
10		wtru 43	. . . . 5 ⊢ ⊤:∗
11	3, 4, 5	df-ov 73	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧(( = [Sλx:α λy:β AT])((λx:α λy:β AS)T))
12	10, 11	a1i 28	. . . 4 ⊢ ⊤⊧(( = [Sλx:α λy:β AT])((λx:α λy:β AS)T))
13	7, 6, 9, 12	dfov2 75	. . 3 ⊢ ⊤⊧[[Sλx:α λy:β AT] = ((λx:α λy:β AS)T)]
14	1, 4	distrl 94	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λy:β AS) = λy:β (λx:α AS)]
15	10, 14	a1i 28	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λy:β AS) = λy:β (λx:α AS)]
16	8, 5, 15	ceq1 89	. . 3 ⊢ ⊤⊧[((λx:α λy:β AS)T) = (λy:β (λx:α AS)T)]
17	6, 13, 16	eqtri 95	. 2 ⊢ ⊤⊧[[Sλx:α λy:β AT] = (λy:β (λx:α AS)T)]
18	1	wl 66	. . . 4 ⊢ λx:α A:(α → γ)
19	18, 4	wc 50	. . 3 ⊢ (λx:α AS):γ
20		wv 64	. . . . . 6 ⊢ y:β:β
21	20, 5	weqi 76	. . . . 5 ⊢ [y:β = T]:∗
22		ovl.4	. . . . . 6 ⊢ [x:α = S]⊧[A = B]
23	1, 4, 22	cl 116	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α AS) = B]
24	21, 23	a1i 28	. . . 4 ⊢ [y:β = T]⊧[(λx:α AS) = B]
25		ovl.5	. . . 4 ⊢ [y:β = T]⊧[B = C]
26	19, 24, 25	eqtri 95	. . 3 ⊢ [y:β = T]⊧[(λx:α AS) = C]
27	19, 5, 26	cl 116	. 2 ⊢ ⊤⊧[(λy:β (λx:α AS)T) = C]
28	6, 17, 27	eqtri 95	1 ⊢ ⊤⊧[[Sλx:α λy:β AT] = C]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73

This theorem is referenced by:  imval  146  orval  147  anval  148  dfan2  154