Theorem cleqh 2266

Description: Establish equality between classes, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. See also cleqf 2333. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypotheses

Ref	Expression
cleqh.1	|- ( y e. A -> A. x y e. A )
cleqh.2	|- ( y e. B -> A. x y e. B )

Assertion

Ref	Expression
cleqh	|- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cleqh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2159	. 2 |- ( A = B <-> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
2		ax-17 1514	. . . 4 |- ( ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfbi2 386	. . . . 5 |- ( ( y e. A <-> y e. B ) <-> ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
4		cleqh.1	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> A. x y e. A )
5		cleqh.2	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> A. x y e. B )
6	4, 5	hbim 1533	. . . . . 6 |- ( ( y e. A -> y e. B ) -> A. x ( y e. A -> y e. B ) )
7	5, 4	hbim 1533	. . . . . 6 |- ( ( y e. B -> y e. A ) -> A. x ( y e. B -> y e. A ) )
8	6, 7	hban 1535	. . . . 5 |- ( ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) -> A. x ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
9	3, 8	hbxfrbi 1460	. . . 4 |- ( ( y e. A <-> y e. B ) -> A. x ( y e. A <-> y e. B ) )
10		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
12	10, 11	bibi12d 234	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
13	12	biimpd 143	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. A <-> x e. B ) -> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
14	2, 9, 13	cbv3h 1731	. . 3 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
15	12	equcoms 1696	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
16	15	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y e. A <-> y e. B ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
17	9, 2, 16	cbv3h 1731	. . 3 |- ( A. y ( y e. A <-> y e. B ) -> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
18	14, 17	impbii 125	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
19	1, 18	bitr4i 186	1 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-cleq 2158  df-clel 2161

This theorem is referenced by:  abeq2  2275