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Theorem cleqh 2215
Description: Establish equality between classes, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. See also cleqf 2280. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Hypotheses
Ref Expression
cleqh.1  |-  ( y  e.  A  ->  A. x  y  e.  A )
cleqh.2  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cleqh  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cleqh
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2109 . 2  |-  ( A  =  B  <->  A. y
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
2 ax-17 1489 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  ->  A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
3 dfbi2 383 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  <->  y  e.  B )  <->  ( (
y  e.  A  -> 
y  e.  B )  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) ) )
4 cleqh.1 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  A. x  y  e.  A )
5 cleqh.2 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  y  e.  B )
64, 5hbim 1507 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
y  e.  B )  ->  A. x ( y  e.  A  ->  y  e.  B ) )
75, 4hbim 1507 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  -> 
y  e.  A )  ->  A. x ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )
86, 7hban 1509 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  ->  y  e.  B )  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )  ->  A. x ( ( y  e.  A  ->  y  e.  B )  /\  (
y  e.  B  -> 
y  e.  A ) ) )
93, 8hbxfrbi 1431 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  <->  y  e.  B )  ->  A. x
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
10 eleq1 2178 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
11 eleq1 2178 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
1210, 11bibi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( y  e.  A  <->  y  e.  B
) ) )
1312biimpd 143 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  -> 
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) ) )
142, 9, 13cbv3h 1704 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  ->  A. y
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
1512equcoms 1667 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( y  e.  A  <->  y  e.  B
) ) )
1615biimprd 157 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  <->  y  e.  B )  -> 
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
179, 2, 16cbv3h 1704 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  A  <->  y  e.  B
)  ->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1814, 17impbii 125 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. y ( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
191, 18bitr4i 186 1  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1420  df-cleq 2108  df-clel 2111
This theorem is referenced by:  abeq2  2224
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