Theorem cleqh 2296

Description: Establish equality between classes, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. See also cleqf 2364. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypotheses

Ref	Expression
cleqh.1	|- ( y e. A -> A. x y e. A )
cleqh.2	|- ( y e. B -> A. x y e. B )

Assertion

Ref	Expression
cleqh	|- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cleqh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2190	. 2 |- ( A = B <-> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
2		ax-17 1540	. . . 4 |- ( ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfbi2 388	. . . . 5 |- ( ( y e. A <-> y e. B ) <-> ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
4		cleqh.1	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> A. x y e. A )
5		cleqh.2	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> A. x y e. B )
6	4, 5	hbim 1559	. . . . . 6 |- ( ( y e. A -> y e. B ) -> A. x ( y e. A -> y e. B ) )
7	5, 4	hbim 1559	. . . . . 6 |- ( ( y e. B -> y e. A ) -> A. x ( y e. B -> y e. A ) )
8	6, 7	hban 1561	. . . . 5 |- ( ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) -> A. x ( ( y e. A -> y e. B ) /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
9	3, 8	hbxfrbi 1486	. . . 4 |- ( ( y e. A <-> y e. B ) -> A. x ( y e. A <-> y e. B ) )
10		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
12	10, 11	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
13	12	biimpd 144	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. A <-> x e. B ) -> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
14	2, 9, 13	cbv3h 1757	. . 3 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
15	12	equcoms 1722	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( y e. A <-> y e. B ) ) )
16	15	biimprd 158	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y e. A <-> y e. B ) -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
17	9, 2, 16	cbv3h 1757	. . 3 |- ( A. y ( y e. A <-> y e. B ) -> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
18	14, 17	impbii 126	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> A. y ( y e. A <-> y e. B ) )
19	1, 18	bitr4i 187	1 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-cleq 2189  df-clel 2192

This theorem is referenced by:  abeq2  2305