Theorem csbexga 3988

Description: The existence of proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbexga	|- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Proof of Theorem csbexga

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 2948	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		abid2 2215	. . . . . . 7 |- { y | y e. B } = B
3		elex 2644	. . . . . . 7 |- ( B e. W -> B e. _V )
4	2, 3	syl5eqel 2181	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { y | y e. B } e. _V )
5	4	alimi 1396	. . . . 5 |- ( A. x B e. W -> A. x { y | y e. B } e. _V )
6		spsbc 2865	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x { y | y e. B } e. _V -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x B e. W -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
8	7	imp 123	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V )
9		nfcv 2235	. . . . 5 |- F/_ x _V
10	9	sbcabel 2934	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
11	10	adantr 271	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
12	8, 11	mpbid 146	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V )
13	1, 12	syl5eqel 2181	1 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1294   e. wcel 1445   {cab 2081   _Vcvv 2633   [.wsbc 2854   [_csb 2947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948

This theorem is referenced by:  csbexa  3989