Theorem csbexga 4180

Description: The existence of proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbexga	|- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Proof of Theorem csbexga

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3098	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		abid2 2327	. . . . . . 7 |- { y | y e. B } = B
3		elex 2785	. . . . . . 7 |- ( B e. W -> B e. _V )
4	2, 3	eqeltrid 2293	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { y | y e. B } e. _V )
5	4	alimi 1479	. . . . 5 |- ( A. x B e. W -> A. x { y | y e. B } e. _V )
6		spsbc 3014	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x { y | y e. B } e. _V -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x B e. W -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
8	7	imp 124	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V )
9		nfcv 2349	. . . . 5 |- F/_ x _V
10	9	sbcabel 3084	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
12	8, 11	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V )
13	1, 12	eqeltrid 2293	1 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2177   {cab 2192   _Vcvv 2773   [.wsbc 3002   [_csb 3097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098

This theorem is referenced by:  csbexa  4181  prdsex  13176  imasex  13212