Theorem csbexga 4211

Description: The existence of proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbexga	|- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Proof of Theorem csbexga

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3125	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		abid2 2350	. . . . . . 7 |- { y | y e. B } = B
3		elex 2811	. . . . . . 7 |- ( B e. W -> B e. _V )
4	2, 3	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { y | y e. B } e. _V )
5	4	alimi 1501	. . . . 5 |- ( A. x B e. W -> A. x { y | y e. B } e. _V )
6		spsbc 3040	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x { y | y e. B } e. _V -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x B e. W -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
8	7	imp 124	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V )
9		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ x _V
10	9	sbcabel 3111	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
12	8, 11	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V )
13	1, 12	eqeltrid 2316	1 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   [_csb 3124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125

This theorem is referenced by:  csbexa  4212  prdsex  13297  imasex  13333