Theorem csbexga 4217

Description: The existence of proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbexga	|- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Proof of Theorem csbexga

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3128	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		abid2 2352	. . . . . . 7 |- { y | y e. B } = B
3		elex 2814	. . . . . . 7 |- ( B e. W -> B e. _V )
4	2, 3	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { y | y e. B } e. _V )
5	4	alimi 1503	. . . . 5 |- ( A. x B e. W -> A. x { y | y e. B } e. _V )
6		spsbc 3043	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x { y | y e. B } e. _V -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x B e. W -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V ) )
8	7	imp 124	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V )
9		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ x _V
10	9	sbcabel 3114	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> ( [. A / x ]. { y | y e. B } e. _V <-> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V ) )
12	8, 11	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> { y | [. A / x ]. y e. B } e. _V )
13	1, 12	eqeltrid 2318	1 |- ( ( A e. V /\ A. x B e. W ) -> [_ A / x ]_ B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2802   [.wsbc 3031   [_csb 3127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128

This theorem is referenced by:  csbexa  4218  prdsex  13351  imasex  13387