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Theorem prdsex 12739
Description: Existence of the structure product. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
prdsex  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( S X_s R )  e.  _V )

Proof of Theorem prdsex
Dummy variables  a  c  d  e  f  g  h  r  s  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2762 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
21adantr 276 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  S  e.  _V )
3 elex 2762 . . . 4  |-  ( R  e.  W  ->  R  e.  _V )
43adantl 277 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  R  e.  _V )
5 dmexg 4905 . . . . 5  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
6 basfn 12537 . . . . . . 7  |-  Base  Fn  _V
7 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  R  e.  W )
8 vex 2754 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
9 fvexg 5548 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  W  /\  x  e.  _V )  ->  ( R `  x
)  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( R `  x
)  e.  _V )
11 funfvex 5546 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  Base  /\  ( R `  x )  e.  dom  Base )  ->  ( Base `  ( R `  x ) )  e. 
_V )
1211funfni 5330 . . . . . . 7  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  ( R `  x )  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R `  x ) )  e. 
_V )
136, 10, 12sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Base `  ( R `  x )
)  e.  _V )
1413ralrimivw 2563 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  A. x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  e.  _V )
15 ixpexgg 6739 . . . . 5  |-  ( ( dom  R  e.  _V  /\ 
A. x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  e.  _V )
165, 14, 15syl2an2 594 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  e.  _V )
17 vex 2754 . . . . . . 7  |-  v  e. 
_V
1817, 17mpoex 6232 . . . . . 6  |-  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  _V
19 basendxnn 12535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
2017a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  v  e.  _V )
21 opexg 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  v  e.  _V )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  v >.  e.  _V )
2219, 20, 21sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  v >.  e. 
_V )
23 plusgndxnn 12588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
2423elexi 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  _V
2517, 17mpoex 6232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V
2624, 25opex 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >.  e.  _V
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V )
28 mulrslid 12608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r  = Slot  ( .r `  ndx )  /\  ( .r `  ndx )  e.  NN )
2928simpri 113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  ndx )  e.  NN
3029elexi 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  ndx )  e.  _V
3117, 17mpoex 6232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V
3230, 31opex 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V
3332a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V )
34 tpexg 4458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. ( Base `  ndx ) ,  v >.  e. 
_V  /\  <. ( +g  ` 
ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >.  e.  _V  /\ 
<. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  e.  _V )
3522, 27, 33, 34syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  e.  _V )
36 scaslid 12629 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar  = Slot  (Scalar `  ndx )  /\  (Scalar `  ndx )  e.  NN )
3736simpri 113 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  ndx )  e.  NN
38 simpl 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  S  e.  V )
39 opexg 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (Scalar `  ndx )  e.  NN  /\  S  e.  V )  ->  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >.  e.  _V )
4037, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >.  e.  _V )
41 vscaslid 12639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s  = Slot  ( .s `  ndx )  /\  ( .s `  ndx )  e.  NN )
4241simpri 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
`  ndx )  e.  NN
4338elexd 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  S  e.  _V )
44 funfvex 5546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  Base  /\  S  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
4544funfni 5330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
466, 43, 45sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Base `  S
)  e.  _V )
47 mpoexga 6230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Base `  S
)  e.  _V  /\  v  e.  _V )  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e. 
_V )
4846, 17, 47sylancl 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e. 
_V )
49 opexg 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( .s `  ndx )  e.  NN  /\  (
f  e.  ( Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )  -> 
<. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V )
5042, 48, 49sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V )
51 ipslid 12647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .i  = Slot  ( .i `  ndx )  /\  ( .i `  ndx )  e.  NN )
5251simpri 113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .i
`  ndx )  e.  NN
5352elexi 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .i
`  ndx )  e.  _V
5417, 17mpoex 6232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  e.  _V
5553, 54opex 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>.  e.  _V
5655a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) ) >.  e.  _V )
57 tpexg 4458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >.  e.  _V  /\ 
<. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  e.  _V  /\ 
<. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) ) >.  e.  _V )  ->  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }  e.  _V )
5840, 50, 56, 57syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. , 
<. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }  e.  _V )
59 unexg 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  e.  _V  /\  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }  e.  _V )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  e.  _V )
6035, 58, 59syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  e.  _V )
61 tsetndxnn 12665 . . . . . . . . . . 11  |-  (TopSet `  ndx )  e.  NN
62 topnfn 12714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  TopOpen  Fn  _V
63 fnfun 5327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen  Fn 
_V  ->  Fun  TopOpen )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  TopOpen
65 cofunexg 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  TopOpen  /\  R  e.  W )  ->  ( TopOpen  o.  R )  e. 
_V )
6664, 7, 65sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( TopOpen  o.  R )  e.  _V )
67 ptex 12734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen  o.  R )  e. 
_V  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  e.  _V )
6866, 67syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  e.  _V )
69 opexg 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (TopSet `  ndx )  e.  NN  /\  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  e.  _V )  -> 
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
>.  e.  _V )
7061, 68, 69sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
>.  e.  _V )
71 plendxnn 12679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  ndx )  e.  NN
72 vex 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
73 vex 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
7472, 73prss 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  v )  <->  { f ,  g } 
C_  v )
7574anbi1i 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  v  /\  g  e.  v )  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  <->  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
7675opabbii 4084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  v )  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
7717, 17xpex 4755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  X.  v )  e. 
_V
78 opabssxp 4714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  v )  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) }  C_  ( v  X.  v
)
7977, 78ssexi 4155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  v )  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) }  e.  _V
8076, 79eqeltrri 2262 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  v  /\  A. x  e.  dom  R
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  e.  _V
8180a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  e.  _V )
82 opexg 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( le `  ndx )  e.  NN  /\  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  v  /\  A. x  e. 
dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) }  e.  _V )  ->  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>.  e.  _V )
8371, 81, 82sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  v  /\  A. x  e.  dom  R
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }
>.  e.  _V )
84 dsndxnn 12690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ndx )  e.  NN
8517, 17mpoex 6232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup (
( ran  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  e.  _V
86 opexg 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dist `  ndx )  e.  NN  /\  (
f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  e. 
_V )  ->  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >.  e.  _V )
8784, 85, 86mp2an 426 . . . . . . . . . . 11  |-  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >.  e.  _V
8887a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >.  e.  _V )
89 tpexg 4458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
>.  e.  _V  /\  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>.  e.  _V  /\  <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >.  e.  _V )  ->  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  e.  _V )
9070, 83, 88, 89syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  e.  _V )
91 homslid 12706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  e.  NN )
9291simpri 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Hom  `  ndx )  e.  NN
93 vex 2754 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
94 opexg 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Hom  `  ndx )  e.  NN  /\  h  e.  _V )  ->  <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >.  e.  _V )
9592, 93, 94mp2an 426 . . . . . . . . . 10  |-  <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >.  e.  _V
96 ccoslid 12708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp  = Slot  (comp `  ndx )  /\  (comp `  ndx )  e.  NN )
9796simpri 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  ndx )  e.  NN
9877, 17mpoex 6232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  e.  _V
99 opexg 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (comp `  ndx )  e.  NN  /\  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  e.  _V )  ->  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>.  e.  _V )
10097, 98, 99mp2an 426 . . . . . . . . . . 11  |-  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>.  e.  _V
101100a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  -> 
<. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>.  e.  _V )
102 prexg 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. ( Hom  `  ndx ) ,  h >.  e. 
_V  /\  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>.  e.  _V )  ->  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. , 
<. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. }  e.  _V )
10395, 101, 102sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. , 
<. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. }  e.  _V )
104 unexg 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  e.  _V  /\  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. , 
<. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. }  e.  _V )  ->  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } )  e.  _V )
10590, 103, 104syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } )  e.  _V )
106 unexg 4457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  e.  _V  /\  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } )  e.  _V )  ->  ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
10760, 105, 106syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
108107alrimiv 1884 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  A. h ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
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) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
109 csbexga 4145 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  _V  /\  A. h ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
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ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
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( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
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) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )  ->  [_ (
f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x
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) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
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>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
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f ,  g } 
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) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
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( 1st `  a
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) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
11018, 108, 109sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
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Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
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|->  ( ( f `  x ) ( .i
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>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
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ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
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( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
111110alrimiv 1884 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  A. v [_ (
f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x
) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
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) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
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f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
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) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
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( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
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) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
112 csbexga 4145 . . . 4  |-  ( (
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  e.  _V  /\  A. v [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
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|->  ( ( f `  x ) ( .i
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) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
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f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
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ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
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) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
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) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )  ->  [_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
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Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
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gsumg  ( x  e.  dom  R 
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>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
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ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
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) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
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) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
11316, 111, 112syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  [_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
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 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
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`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
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>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
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>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )
114 dmeq 4841 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
115114ixpeq1d 6727 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  X_ x  e.  dom  r ( Base `  ( r `  x
) )  =  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( r `  x ) ) )
116 fveq1 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
r `  x )  =  ( R `  x ) )
117116fveq2d 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  ( r `  x ) )  =  ( Base `  ( R `  x )
) )
118117ixpeq2dv 6731 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( r `  x
) )  =  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) )
119115, 118eqtrd 2221 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  X_ x  e.  dom  r ( Base `  ( r `  x
) )  =  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) )
120119adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
X_ x  e.  dom  r ( Base `  (
r `  x )
)  =  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) )
121120csbeq1d 3078 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ X_ x  e.  dom  r ( Base `  (
r `  x )
)  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  = 
[_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
122114adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  dom  r  =  dom  R )
123122ixpeq1d 6727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) )  =  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) )
124 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  r  =  R )
125124fveq1d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( r `  x
)  =  ( R `
 x ) )
126125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Hom  `  (
r `  x )
)  =  ( Hom  `  ( R `  x
) ) )
127126oveqd 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) )  =  ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
128127ixpeq2dv 6731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) )  =  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )
129123, 128eqtrd 2221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) )  =  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
130129mpoeq3dv 5956 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  =  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x
) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
131130csbeq1d 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  = 
[_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
132 eqidd 2189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  v >.  = 
<. ( Base `  ndx ) ,  v >. )
133125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( +g  `  (
r `  x )
)  =  ( +g  `  ( R `  x
) ) )
134133oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
135122, 134mpteq12dv 4099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )
136135mpoeq3dv 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  =  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
137136opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  =  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. )
138125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( .r `  (
r `  x )
)  =  ( .r
`  ( R `  x ) ) )
139138oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
140122, 139mpteq12dv 4099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )
141140mpoeq3dv 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  =  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
142141opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  =  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. )
143132, 137, 142tpeq123d 3698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. } )
144 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  s  =  S )
145144opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. (Scalar `  ndx ) ,  s >.  =  <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. )
146144fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
147 eqidd 2189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  v  =  v )
148125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( .s `  (
r `  x )
)  =  ( .s
`  ( R `  x ) ) )
149148oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f ( .s
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) )  =  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
150122, 149mpteq12dv 4099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )
151146, 147, 150mpoeq123dv 5952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f  e.  (
Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
152151opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  r  |->  ( f ( .s `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >.  =  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. )
153125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( .i `  (
r `  x )
)  =  ( .i
`  ( R `  x ) ) )
154153oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) )  =  ( ( f `  x ) ( .i `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
155122, 154mpteq12dv 4099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .i `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )
156144, 155oveq12d 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .i `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
157156mpoeq3dv 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .i `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) ) )
158157opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >.  =  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. )
159145, 152, 158tpeq123d 3698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  { <. (Scalar `  ndx ) ,  s >. , 
<. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  r  |->  ( f ( .s `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( .i `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) ) >. }  =  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )
160143, 159uneq12d 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } ) )
161124coeq2d 4803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( TopOpen  o.  r )  =  ( TopOpen  o.  R
) )
162161fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
163162opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r ) )
>.  =  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. )
164125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( le `  (
r `  x )
)  =  ( le
`  ( R `  x ) ) )
165164breqd 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( f `  x ) ( le
`  ( r `  x ) ) ( g `  x )  <-> 
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
166122, 165raleqbidv 2697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( A. x  e. 
dom  r ( f `
 x ) ( le `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
)  <->  A. x  e.  dom  R ( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
167166anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( { f ,  g }  C_  v  /\  A. x  e. 
dom  r ( f `
 x ) ( le `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) )  <->  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
168167opabbidv 4083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  v  /\  A. x  e.  dom  R
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } )
169168opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  v  /\  A. x  e.  dom  r
( f `  x
) ( le `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) } >.  =  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. )
170125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( dist `  (
r `  x )
)  =  ( dist `  ( R `  x
) ) )
171170oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) )  =  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
172122, 171mpteq12dv 4099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )
173172rneqd 4870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ran  ( x  e. 
dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ran  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
174173uneq1d 3302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =  ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
175174supeq1d 7003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
176175mpoeq3dv 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
177176opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
>.  =  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >.
)
178163, 169, 177tpeq123d 3698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  =  { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. } )
179125fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  (comp `  ( r `  x ) )  =  (comp `  ( R `  x ) ) )
180179oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( r `  x ) ) ( c `  x ) )  =  ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) )
181180oveqd 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) )  =  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) )
182122, 181mpteq12dv 4099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `
 x ) (
<. ( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) )  =  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) )
183182mpoeq3dv 5956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) )  =  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
184183mpoeq3dv 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( v  X.  v
) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `  a
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
185184opeq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  -> 
<. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>.  =  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. )
186185preq2d 3690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. , 
<. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v 
|->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a ) ) ,  e  e.  ( h `
 a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. }  =  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } )
187178, 186uneq12d 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  r
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } )  =  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )
188160, 187uneq12d 3304 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
189188csbeq2dv 3097 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  = 
[_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
190131, 189eqtrd 2221 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  = 
[_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
191190csbeq2dv 3097 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  = 
[_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
192121, 191eqtrd 2221 . . . 4  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ X_ x  e.  dom  r ( Base `  (
r `  x )
)  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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 x ) ( Hom  `  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  (
r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  = 
[_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
193 df-prds 12737 . . . 4  |-  X_s  =  (
s  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  [_ X_ x  e.  dom  r
( Base `  ( r `  x ) )  / 
v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  r ( ( f `  x ) ( Hom  `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( r `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( r `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  s
>. ,  <. ( .s
`  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  s ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  r  |->  ( f ( .s `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( s  gsumg  ( x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( r `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) ) >. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  r )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  r ( f `  x ) ( le `  (
r `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  r  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( r `  x
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ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
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( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
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r `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
194192, 193ovmpoga 6020 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  R  e.  _V  /\  [_ X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  /  v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  /  h ]_ ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )  e. 
_V )  ->  ( S X_s R )  =  [_ X_ x  e.  dom  R
( Base `  ( R `  x ) )  / 
v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
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gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
1952, 4, 113, 194syl3anc 1248 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( S X_s R )  =  [_ X_ x  e.  dom  R
( Base `  ( R `  x ) )  / 
v ]_ [_ ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  /  h ]_ (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  v >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v 
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 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  v  |->  ( x  e.  dom  R 
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`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  v  /\  A. x  e.  dom  R ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  v ,  g  e.  v  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  h >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( v  X.  v ) ,  c  e.  v  |->  ( d  e.  ( c h ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( h `  a )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( d `  x
) ( <. (
( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
196195, 113eqeltrd 2265 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( S X_s R )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1361    = wceq 1363    e. wcel 2159   A.wral 2467   _Vcvv 2751   [_csb 3071    u. cun 3141    C_ wss 3143   {csn 3606   {cpr 3607   {ctp 3608   <.cop 3609   class class class wbr 4017   {copab 4077    |-> cmpt 4078    X. cxp 4638   dom cdm 4640   ran crn 4641    o. ccom 4644   Fun wfun 5224    Fn wfn 5225   ` cfv 5230  (class class class)co 5890    e. cmpo 5892   1stc1st 6156   2ndc2nd 6157   X_cixp 6715   supcsup 6998   0cc0 7828   RR*cxr 8008    < clt 8009   NNcn 8936   ndxcnx 12476  Slot cslot 12478   Basecbs 12479   +g cplusg 12554   .rcmulr 12555  Scalarcsca 12557   .scvsca 12558   .icip 12559  TopSetcts 12560   lecple 12561   distcds 12563   Hom chom 12565  compcco 12566   TopOpenctopn 12710   Xt_cpt 12725    gsumg cgsu 12727   X_scprds 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-tp 3614  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-map 6667  df-ixp 6716  df-sup 7000  df-sub 8147  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-dec 9402  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-ip 12572  df-tset 12573  df-ple 12574  df-ds 12576  df-hom 12578  df-cco 12579  df-rest 12711  df-topn 12712  df-topgen 12730  df-pt 12731  df-prds 12737
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