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Theorem prdsex 14149
Description: Existence of the structure product. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
prdsex |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( S X_s R ) e. _V )
Proof of Theorem prdsex
Dummy variables a c d e f g h r s v x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2833 . . . 4 |- ( S e. V -> S e. _V )
21adantr 276 . . 3 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
3 elex 2833 . . . 4 |- ( R e. W -> R e. _V )
43adantl 277 . . 3 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> R e. _V )
5 dmexg 5041 . . . . 5 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
6 basfn 13389 . . . . . . 7 |- Base Fn _V
7 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
8 vex 2824 . . . . . . . 8 |- x e. _V
9 fvexg 5709 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. W /\ x e. _V ) -> ( R ` x ) e. _V )
107, 8, 9sylancl 417 . . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( R ` x ) e. _V )
11 funfvex 5707 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ ( R ` x ) e. dom Base ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
1211funfni 5478 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ ( R ` x ) e. _V ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
136, 10, 12sylancr 418 . . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
1413ralrimivw 2624 . . . . 5 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> A. x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
15 ixpexgg 6994 . . . . 5 |- ( ( dom R e. _V /\ A. x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
165, 14, 15syl2an2 602 . . . 4 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
17 vex 2824 . . . . . . 7 |- v e. _V
1817, 17mpoex 6440 . . . . . 6 |- ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V
19 basendxnn 13386 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2017a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> v e. _V )
21 opexg 4363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ v e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , v >. e. _V )
2219, 20, 21sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( Base ` ndx ) , v >. e. _V )
23 plusgndxnn 13442 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` ndx ) e. NN
2423elexi 2834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` ndx ) e. _V
2517, 17mpoex 6440 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V
2624, 25opex 4364 . . . . . . . . . . 11 |- <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V )
28 mulrslid 13463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
2928simpri 113 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ndx ) e. NN
3029elexi 2834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` ndx ) e. _V
3117, 17mpoex 6440 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V
3230, 31opex 4364 . . . . . . . . . . 11 |- <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V
3332a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V )
34 tpexg 4585 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , v >. e. _V /\ <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V /\ <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } e. _V )
3522, 27, 33, 34syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } e. _V )
36 scaslid 13484 . . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
3736simpri 113 . . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
38 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> S e. V )
39 opexg 4363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( (Scalar ` ndx ) e. NN /\ S e. V ) -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. _V )
4037, 38, 39sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. _V )
41 vscaslid 13494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
4241simpri 113 . . . . . . . . . . 11 |- ( .s ` ndx ) e. NN
4338elexd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
44 funfvex 5707 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
4544funfni 5478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
466, 43, 45sylancr 418 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` S ) e. _V )
47 mpoexga 6438 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Base ` S ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
4846, 17, 47sylancl 417 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
49 opexg 4363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( .s ` ndx ) e. NN /\ ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V ) -> <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V )
5042, 48, 49sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V )
51 ipslid 13502 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .i = Slot ( .i ` ndx ) /\ ( .i ` ndx ) e. NN )
5251simpri 113 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( .i ` ndx ) e. NN
5352elexi 2834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .i ` ndx ) e. _V
5417, 17mpoex 6440 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) e. _V
5553, 54opex 4364 . . . . . . . . . . 11 |- <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. e. _V
5655a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. e. _V )
57 tpexg 4585 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. (Scalar ` ndx ) , S >. e. _V /\ <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. e. _V /\ <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. e. _V ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } e. _V )
5840, 50, 56, 57syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } e. _V )
59 unexg 4584 . . . . . . . . 9 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } e. _V /\ { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } e. _V ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) e. _V )
6035, 58, 59syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) e. _V )
61 tsetndxnn 13520 . . . . . . . . . . 11 |- (TopSet ` ndx ) e. NN
62 topnfn 13575 . . . . . . . . . . . . . 14 |- TopOpen Fn _V
63 fnfun 5473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen Fn _V -> Fun TopOpen )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- Fun TopOpen
65 cofunexg 6328 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. W ) -> ( TopOpen o. R ) e. _V )
6664, 7, 65sylancr 418 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( TopOpen o. R ) e. _V )
67 ptex 13595 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen o. R ) e. _V -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V )
6866, 67syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V )
69 opexg 4363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( (TopSet ` ndx ) e. NN /\ ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V ) -> <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. e. _V )
7061, 68, 69sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. e. _V )
71 plendxnn 13534 . . . . . . . . . . 11 |- ( le ` ndx ) e. NN
72 vex 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
73 vex 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
7472, 73prss 3866 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. v /\ g e. v ) <-> { f , g } C_ v )
7574anbi1i 462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. v /\ g e. v ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) <-> ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
7675opabbii 4193 . . . . . . . . . . . . 13 |- { <. f , g >. | ( ( f e. v /\ g e. v ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) }
7717, 17xpex 4886 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v X. v ) e. _V
78 opabssxp 4844 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. f , g >. | ( ( f e. v /\ g e. v ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( v X. v )
7977, 78ssexi 4266 . . . . . . . . . . . . 13 |- { <. f , g >. | ( ( f e. v /\ g e. v ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V
8076, 79eqeltrri 2312 . . . . . . . . . . . 12 |- { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V
8180a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V )
82 opexg 4363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( le ` ndx ) e. NN /\ { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V ) -> <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. e. _V )
8371, 81, 82sylancr 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. e. _V )
84 dsndxnn 13549 . . . . . . . . . . . 12 |- ( dist ` ndx ) e. NN
8517, 17mpoex 6440 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) e. _V
86 opexg 4363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( dist ` ndx ) e. NN /\ ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) e. _V ) -> <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. e. _V )
8784, 85, 86mp2an 430 . . . . . . . . . . 11 |- <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. e. _V
8887a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. e. _V )
89 tpexg 4585 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. e. _V /\ <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. e. _V /\ <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. e. _V ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } e. _V )
9070, 83, 88, 89syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } e. _V )
91 homslid 13566 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Hom = Slot ( Hom ` ndx ) /\ ( Hom ` ndx ) e. NN )
9291simpri 113 . . . . . . . . . . 11 |- ( Hom ` ndx ) e. NN
93 vex 2824 . . . . . . . . . . 11 |- h e. _V
94 opexg 4363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Hom ` ndx ) e. NN /\ h e. _V ) -> <. ( Hom ` ndx ) , h >. e. _V )
9592, 93, 94mp2an 430 . . . . . . . . . 10 |- <. ( Hom ` ndx ) , h >. e. _V
96 ccoslid 13569 . . . . . . . . . . . . 13 |- (comp = Slot (comp ` ndx ) /\ (comp ` ndx ) e. NN )
9796simpri 113 . . . . . . . . . . . 12 |- (comp ` ndx ) e. NN
9877, 17mpoex 6440 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) e. _V
99 opexg 4363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (comp ` ndx ) e. NN /\ ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) e. _V ) -> <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. e. _V )
10097, 98, 99mp2an 430 . . . . . . . . . . 11 |- <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. e. _V
101100a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. e. _V )
102 prexg 4344 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. ( Hom ` ndx ) , h >. e. _V /\ <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. e. _V ) -> { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } e. _V )
10395, 101, 102sylancr 418 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } e. _V )
104 unexg 4584 . . . . . . . . 9 |- ( ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } e. _V /\ { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } e. _V ) -> ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) e. _V )
10590, 103, 104syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) e. _V )
106 unexg 4584 . . . . . . . 8 |- ( ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) e. _V /\ ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) e. _V ) -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
10760, 105, 106syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
108107alrimiv 1927 . . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> A. h ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
109 csbexga 4256 . . . . . 6 |- ( ( ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V /\ A. h ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V ) -> [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
11018, 108, 109sylancr 418 . . . . 5 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
111110alrimiv 1927 . . . 4 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> A. v [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
112 csbexga 4256 . . . 4 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ A. v [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V ) -> [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
11316, 111, 112syl2anc 415 . . 3 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V )
114 dmeq 4976 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> dom r = dom R )
115114ixpeq1d 6982 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> X_ x e. dom r ( Base ` ( r ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( r ` x ) ) )
116 fveq1 5689 . . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r ` x ) = ( R ` x ) )
117116fveq2d 5694 . . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( Base ` ( r ` x ) ) = ( Base ` ( R ` x ) ) )
118117ixpeq2dv 6986 . . . . . . . 8 |- ( r = R -> X_ x e. dom R ( Base ` ( r ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
119115, 118eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( r = R -> X_ x e. dom r ( Base ` ( r ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
120119adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> X_ x e. dom r ( Base ` ( r ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
121120csbeq1d 3154 . . . . 5 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ X_ x e. dom r ( Base ` ( r ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
122114adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> dom r = dom R )
123122ixpeq1d 6982 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) )
124 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> r = R )
125124fveq1d 5692 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( r ` x ) = ( R ` x ) )
126125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( Hom ` ( r ` x ) ) = ( Hom ` ( R ` x ) ) )
127126oveqd 6092 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
128127ixpeq2dv 6986 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
129123, 128eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
130129mpoeq3dv 6144 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
131130csbeq1d 3154 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
132 eqidd 2239 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( Base ` ndx ) , v >. = <. ( Base ` ndx ) , v >. )
133125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( +g ` ( r ` x ) ) = ( +g ` ( R ` x ) ) )
134133oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
135122, 134mpteq12dv 4208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
136135mpoeq3dv 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
137136opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. = <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. )
138125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( .r ` ( r ` x ) ) = ( .r ` ( R ` x ) ) )
139138oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
140122, 139mpteq12dv 4208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
141140mpoeq3dv 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
142141opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. = <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. )
143132, 137, 142tpeq123d 3799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } )
144 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> s = S )
145144opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. (Scalar ` ndx ) , s >. = <. (Scalar ` ndx ) , S >. )
146144fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
147 eqidd 2239 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> v = v )
148125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( .s ` ( r ` x ) ) = ( .s ` ( R ` x ) ) )
149148oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
150122, 149mpteq12dv 4208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
151146, 147, 150mpoeq123dv 6140 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
152151opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. = <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. )
153125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( .i ` ( r ` x ) ) = ( .i ` ( R ` x ) ) )
154153oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
155122, 154mpteq12dv 4208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
156144, 155oveq12d 6093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
157156mpoeq3dv 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
158157opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. = <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. )
159145, 152, 158tpeq123d 3799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } = { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
160143, 159uneq12d 3384 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
161124coeq2d 4937 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( TopOpen o. r ) = ( TopOpen o. R ) )
162161fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
163162opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. = <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. )
164125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( le ` ( r ` x ) ) = ( le ` ( R ` x ) ) )
165164breqd 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) <-> ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
166122, 165raleqbidv 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) <-> A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
167166anbi2d 468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) <-> ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
168167opabbidv 4192 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
169168opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. = <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. )
170125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( dist ` ( r ` x ) ) = ( dist ` ( R ` x ) ) )
171170oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) = ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
172122, 171mpteq12dv 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
173172rneqd 5006 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
174173uneq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) = ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
175174supeq1d 7317 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) = sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
176175mpoeq3dv 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
177176opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. = <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. )
178163, 169, 177tpeq123d 3799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } = { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } )
179125fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> (comp ` ( r ` x ) ) = (comp ` ( R ` x ) ) )
180179oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) = ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) )
181180oveqd 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) = ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) )
182122, 181mpteq12dv 4208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) = ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) )
183182mpoeq3dv 6144 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) = ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) )
184183mpoeq3dv 6144 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
185184opeq2d 3906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. = <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. )
186185preq2d 3791 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } = { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } )
187178, 186uneq12d 3384 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) = ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
188160, 187uneq12d 3384 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
189188csbeq2dv 3173 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
190131, 189eqtrd 2271 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
191190csbeq2dv 3173 . . . . 5 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
192121, 191eqtrd 2271 . . . 4 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ X_ x e. dom r ( Base ` ( r ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) = [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
193 df-prds 14147 . . . 4 |- X_s = ( s e. _V , r e. _V |-> [_ X_ x e. dom r ( Base ` ( r ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , s >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` s ) , g e. v |-> ( x e. dom r |-> ( f ( .s ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( s gsumg ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. r ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom r ( f ` x ) ( le ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom r |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom r |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( r ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
194192, 193ovmpoga 6208 . . 3 |- ( ( S e. _V /\ R e. _V /\ [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) e. _V ) -> ( S X_s R ) = [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
1952, 4, 113, 194syl3anc 1278 . 2 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( S X_s R ) = [_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) / v ]_ [_ ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) / h ]_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , v >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. v |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ v /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. v , g e. v |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , h >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( v X. v ) , c e. v |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) h c ) , e e. ( h ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
196195, 113eqeltrd 2315 1 |- ( ( S e. V /\ R e. W ) -> ( S X_s R ) e. _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   {cpr 3706   {ctp 3707   <.cop 3708   class class class wbr 4125   {copab 4186   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   dom cdm 4769   ran crn 4770   o. ccom 4773   Fun wfun 5366   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   1stc1st 6362   2ndc2nd 6363   X_cixp 6970   supcsup 7312   0cc0 8169   RR*cxr 8349   < clt 8350   NNcn 9283   ndxcnx 13327  Slot cslot 13329   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   .icip 13413  TopSetcts 13414   lecple 13415   distcds 13417   Hom chom 13419  compcco 13420   TopOpenctopn 13571   Xt_cpt 13586   gsumg cgsu 14127   X_scprds 14146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-ixp 6971  df-sup 7314  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-tset 13427  df-ple 13428  df-ds 13430  df-hom 13432  df-cco 13433  df-rest 13572  df-topn 13573  df-topgen 13591  df-pt 13592  df-prds 14147
This theorem is referenced by:  prdsplusg  14154  prdsmulr  14155  prdssgrpd  14168  xpsval  14178  pwsval  14181
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