Theorem 1pi 7682

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6793	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6705	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7675	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	1 |- 1o e. N.

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   omcom 4737   1oc1o 6680   N.cnpi 7639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-1o 6687  df-ni 7671

This theorem is used by:  mulidpi  7685  1lt2pi  7707  nlt1pig  7708  indpi  7709  1nq  7733  1qec  7755  mulidnq  7756  1lt2nq  7773  archnqq  7784  prarloclemarch  7785  prarloclemarch2  7786  nnnq  7789  ltnnnq  7790  nq0m0r  7823  nq0a0  7824  addpinq1  7831  nq02m  7832  prarloclemlt  7860  prarloclemlo  7861  prarloclemn  7866  prarloclemcalc  7869  nqprm  7909  caucvgprlemm  8035  caucvgprprlemml  8061  caucvgprprlemmu  8062  caucvgsrlemasr  8157  caucvgsr  8169  nntopi  8261