Theorem 1pi 7672

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6783	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6695	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7665	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   omcom 4732   1oc1o 6670   N.cnpi 7629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-suc 4511  df-iom 4733  df-1o 6677  df-ni 7661

This theorem is referenced by:  mulidpi  7675  1lt2pi  7697  nlt1pig  7698  indpi  7699  1nq  7723  1qec  7745  mulidnq  7746  1lt2nq  7763  archnqq  7774  prarloclemarch  7775  prarloclemarch2  7776  nnnq  7779  ltnnnq  7780  nq0m0r  7813  nq0a0  7814  addpinq1  7821  nq02m  7822  prarloclemlt  7850  prarloclemlo  7851  prarloclemn  7856  prarloclemcalc  7859  nqprm  7899  caucvgprlemm  8025  caucvgprprlemml  8051  caucvgprprlemmu  8052  caucvgsrlemasr  8147  caucvgsr  8159  nntopi  8251