Theorem 1pi 7384

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6579	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6491	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7377	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2167   =/= wne 2367   (/)c0 3451   omcom 4627   1oc1o 6468   N.cnpi 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628  df-1o 6475  df-ni 7373

This theorem is referenced by:  mulidpi  7387  1lt2pi  7409  nlt1pig  7410  indpi  7411  1nq  7435  1qec  7457  mulidnq  7458  1lt2nq  7475  archnqq  7486  prarloclemarch  7487  prarloclemarch2  7488  nnnq  7491  ltnnnq  7492  nq0m0r  7525  nq0a0  7526  addpinq1  7533  nq02m  7534  prarloclemlt  7562  prarloclemlo  7563  prarloclemn  7568  prarloclemcalc  7571  nqprm  7611  caucvgprlemm  7737  caucvgprprlemml  7763  caucvgprprlemmu  7764  caucvgsrlemasr  7859  caucvgsr  7871  nntopi  7963