Theorem 1pi 7428

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6606	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6518	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7421	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 945	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2176   =/= wne 2376   (/)c0 3460   omcom 4638   1oc1o 6495   N.cnpi 7385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-suc 4418  df-iom 4639  df-1o 6502  df-ni 7417

This theorem is referenced by:  mulidpi  7431  1lt2pi  7453  nlt1pig  7454  indpi  7455  1nq  7479  1qec  7501  mulidnq  7502  1lt2nq  7519  archnqq  7530  prarloclemarch  7531  prarloclemarch2  7532  nnnq  7535  ltnnnq  7536  nq0m0r  7569  nq0a0  7570  addpinq1  7577  nq02m  7578  prarloclemlt  7606  prarloclemlo  7607  prarloclemn  7612  prarloclemcalc  7615  nqprm  7655  caucvgprlemm  7781  caucvgprprlemml  7807  caucvgprprlemmu  7808  caucvgsrlemasr  7903  caucvgsr  7915  nntopi  8007