Theorem 1pi 7314

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6521	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6433	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7307	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 942	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3423   omcom 4590   1oc1o 6410   N.cnpi 7271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-int 3846  df-suc 4372  df-iom 4591  df-1o 6417  df-ni 7303

This theorem is referenced by:  mulidpi  7317  1lt2pi  7339  nlt1pig  7340  indpi  7341  1nq  7365  1qec  7387  mulidnq  7388  1lt2nq  7405  archnqq  7416  prarloclemarch  7417  prarloclemarch2  7418  nnnq  7421  ltnnnq  7422  nq0m0r  7455  nq0a0  7456  addpinq1  7463  nq02m  7464  prarloclemlt  7492  prarloclemlo  7493  prarloclemn  7498  prarloclemcalc  7501  nqprm  7541  caucvgprlemm  7667  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemmu  7694  caucvgsrlemasr  7789  caucvgsr  7801  nntopi  7893