Theorem 1pi 7534

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6687	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6599	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7527	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 950	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2202   =/= wne 2402   (/)c0 3494   omcom 4688   1oc1o 6574   N.cnpi 7491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6581  df-ni 7523

This theorem is referenced by:  mulidpi  7537  1lt2pi  7559  nlt1pig  7560  indpi  7561  1nq  7585  1qec  7607  mulidnq  7608  1lt2nq  7625  archnqq  7636  prarloclemarch  7637  prarloclemarch2  7638  nnnq  7641  ltnnnq  7642  nq0m0r  7675  nq0a0  7676  addpinq1  7683  nq02m  7684  prarloclemlt  7712  prarloclemlo  7713  prarloclemn  7718  prarloclemcalc  7721  nqprm  7761  caucvgprlemm  7887  caucvgprprlemml  7913  caucvgprprlemmu  7914  caucvgsrlemasr  8009  caucvgsr  8021  nntopi  8113