Theorem 1pi 7463

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6629	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6541	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7456	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 945	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2178   =/= wne 2378   (/)c0 3468   omcom 4656   1oc1o 6518   N.cnpi 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-suc 4436  df-iom 4657  df-1o 6525  df-ni 7452

This theorem is referenced by:  mulidpi  7466  1lt2pi  7488  nlt1pig  7489  indpi  7490  1nq  7514  1qec  7536  mulidnq  7537  1lt2nq  7554  archnqq  7565  prarloclemarch  7566  prarloclemarch2  7567  nnnq  7570  ltnnnq  7571  nq0m0r  7604  nq0a0  7605  addpinq1  7612  nq02m  7613  prarloclemlt  7641  prarloclemlo  7642  prarloclemn  7647  prarloclemcalc  7650  nqprm  7690  caucvgprlemm  7816  caucvgprprlemml  7842  caucvgprprlemmu  7843  caucvgsrlemasr  7938  caucvgsr  7950  nntopi  8042