Theorem 1pi 7256

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6488	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6400	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7249	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 932	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2136   =/= wne 2336   (/)c0 3409   omcom 4567   1oc1o 6377   N.cnpi 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-1o 6384  df-ni 7245

This theorem is referenced by:  mulidpi  7259  1lt2pi  7281  nlt1pig  7282  indpi  7283  1nq  7307  1qec  7329  mulidnq  7330  1lt2nq  7347  archnqq  7358  prarloclemarch  7359  prarloclemarch2  7360  nnnq  7363  ltnnnq  7364  nq0m0r  7397  nq0a0  7398  addpinq1  7405  nq02m  7406  prarloclemlt  7434  prarloclemlo  7435  prarloclemn  7440  prarloclemcalc  7443  nqprm  7483  caucvgprlemm  7609  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemmu  7636  caucvgsrlemasr  7731  caucvgsr  7743  nntopi  7835