Theorem 1pi 7328

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6535	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6447	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7321	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 943	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2158   =/= wne 2357   (/)c0 3434   omcom 4601   1oc1o 6424   N.cnpi 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-suc 4383  df-iom 4602  df-1o 6431  df-ni 7317

This theorem is referenced by:  mulidpi  7331  1lt2pi  7353  nlt1pig  7354  indpi  7355  1nq  7379  1qec  7401  mulidnq  7402  1lt2nq  7419  archnqq  7430  prarloclemarch  7431  prarloclemarch2  7432  nnnq  7435  ltnnnq  7436  nq0m0r  7469  nq0a0  7470  addpinq1  7477  nq02m  7478  prarloclemlt  7506  prarloclemlo  7507  prarloclemn  7512  prarloclemcalc  7515  nqprm  7555  caucvgprlemm  7681  caucvgprprlemml  7707  caucvgprprlemmu  7708  caucvgsrlemasr  7803  caucvgsr  7815  nntopi  7907