Theorem 1pi 7525

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6683	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6595	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7518	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 948	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3492   omcom 4686   1oc1o 6570   N.cnpi 7482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-suc 4466  df-iom 4687  df-1o 6577  df-ni 7514

This theorem is referenced by:  mulidpi  7528  1lt2pi  7550  nlt1pig  7551  indpi  7552  1nq  7576  1qec  7598  mulidnq  7599  1lt2nq  7616  archnqq  7627  prarloclemarch  7628  prarloclemarch2  7629  nnnq  7632  ltnnnq  7633  nq0m0r  7666  nq0a0  7667  addpinq1  7674  nq02m  7675  prarloclemlt  7703  prarloclemlo  7704  prarloclemn  7709  prarloclemcalc  7712  nqprm  7752  caucvgprlemm  7878  caucvgprprlemml  7904  caucvgprprlemmu  7905  caucvgsrlemasr  8000  caucvgsr  8012  nntopi  8104