Theorem 1pi 7116

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6409	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6322	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7109	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 926	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 1480   =/= wne 2306   (/)c0 3358   omcom 4499   1oc1o 6299   N.cnpi 7073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-suc 4288  df-iom 4500  df-1o 6306  df-ni 7105

This theorem is referenced by:  mulidpi  7119  1lt2pi  7141  nlt1pig  7142  indpi  7143  1nq  7167  1qec  7189  mulidnq  7190  1lt2nq  7207  archnqq  7218  prarloclemarch  7219  prarloclemarch2  7220  nnnq  7223  ltnnnq  7224  nq0m0r  7257  nq0a0  7258  addpinq1  7265  nq02m  7266  prarloclemlt  7294  prarloclemlo  7295  prarloclemn  7300  prarloclemcalc  7303  nqprm  7343  caucvgprlemm  7469  caucvgprprlemml  7495  caucvgprprlemmu  7496  caucvgsrlemasr  7591  caucvgsr  7603  nntopi  7695