Theorem 1pi 7630

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6753	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6665	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7623	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2203   =/= wne 2412   (/)c0 3508   omcom 4712   1oc1o 6640   N.cnpi 7587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-suc 4492  df-iom 4713  df-1o 6647  df-ni 7619

This theorem is referenced by:  mulidpi  7633  1lt2pi  7655  nlt1pig  7656  indpi  7657  1nq  7681  1qec  7703  mulidnq  7704  1lt2nq  7721  archnqq  7732  prarloclemarch  7733  prarloclemarch2  7734  nnnq  7737  ltnnnq  7738  nq0m0r  7771  nq0a0  7772  addpinq1  7779  nq02m  7780  prarloclemlt  7808  prarloclemlo  7809  prarloclemn  7814  prarloclemcalc  7817  nqprm  7857  caucvgprlemm  7983  caucvgprprlemml  8009  caucvgprprlemmu  8010  caucvgsrlemasr  8105  caucvgsr  8117  nntopi  8209