Theorem 1pi 7375

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6573	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6485	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7368	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2164   =/= wne 2364   (/)c0 3446   omcom 4622   1oc1o 6462   N.cnpi 7332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-suc 4402  df-iom 4623  df-1o 6469  df-ni 7364

This theorem is referenced by:  mulidpi  7378  1lt2pi  7400  nlt1pig  7401  indpi  7402  1nq  7426  1qec  7448  mulidnq  7449  1lt2nq  7466  archnqq  7477  prarloclemarch  7478  prarloclemarch2  7479  nnnq  7482  ltnnnq  7483  nq0m0r  7516  nq0a0  7517  addpinq1  7524  nq02m  7525  prarloclemlt  7553  prarloclemlo  7554  prarloclemn  7559  prarloclemcalc  7562  nqprm  7602  caucvgprlemm  7728  caucvgprprlemml  7754  caucvgprprlemmu  7755  caucvgsrlemasr  7850  caucvgsr  7862  nntopi  7954