Theorem 1pi 7498

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6664	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6576	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7491	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 948	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   omcom 4681   1oc1o 6553   N.cnpi 7455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-suc 4461  df-iom 4682  df-1o 6560  df-ni 7487

This theorem is referenced by:  mulidpi  7501  1lt2pi  7523  nlt1pig  7524  indpi  7525  1nq  7549  1qec  7571  mulidnq  7572  1lt2nq  7589  archnqq  7600  prarloclemarch  7601  prarloclemarch2  7602  nnnq  7605  ltnnnq  7606  nq0m0r  7639  nq0a0  7640  addpinq1  7647  nq02m  7648  prarloclemlt  7676  prarloclemlo  7677  prarloclemn  7682  prarloclemcalc  7685  nqprm  7725  caucvgprlemm  7851  caucvgprprlemml  7877  caucvgprprlemmu  7878  caucvgsrlemasr  7973  caucvgsr  7985  nntopi  8077