Theorem 1pi 7214

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6456	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6369	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7207	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 927	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2125   =/= wne 2324   (/)c0 3390   omcom 4543   1oc1o 6346   N.cnpi 7171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-uni 3769  df-int 3804  df-suc 4326  df-iom 4544  df-1o 6353  df-ni 7203

This theorem is referenced by:  mulidpi  7217  1lt2pi  7239  nlt1pig  7240  indpi  7241  1nq  7265  1qec  7287  mulidnq  7288  1lt2nq  7305  archnqq  7316  prarloclemarch  7317  prarloclemarch2  7318  nnnq  7321  ltnnnq  7322  nq0m0r  7355  nq0a0  7356  addpinq1  7363  nq02m  7364  prarloclemlt  7392  prarloclemlo  7393  prarloclemn  7398  prarloclemcalc  7401  nqprm  7441  caucvgprlemm  7567  caucvgprprlemml  7593  caucvgprprlemmu  7594  caucvgsrlemasr  7689  caucvgsr  7701  nntopi  7793