Theorem 1pi 7427

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6605	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6517	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 7420	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 2175   =/= wne 2375   (/)c0 3459   omcom 4637   1oc1o 6494   N.cnpi 7384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-int 3885  df-suc 4417  df-iom 4638  df-1o 6501  df-ni 7416

This theorem is referenced by:  mulidpi  7430  1lt2pi  7452  nlt1pig  7453  indpi  7454  1nq  7478  1qec  7500  mulidnq  7501  1lt2nq  7518  archnqq  7529  prarloclemarch  7530  prarloclemarch2  7531  nnnq  7534  ltnnnq  7535  nq0m0r  7568  nq0a0  7569  addpinq1  7576  nq02m  7577  prarloclemlt  7605  prarloclemlo  7606  prarloclemn  7611  prarloclemcalc  7614  nqprm  7654  caucvgprlemm  7780  caucvgprprlemml  7806  caucvgprprlemmu  7807  caucvgsrlemasr  7902  caucvgsr  7914  nntopi  8006