Theorem addclpi 7394

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7383	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2		pinn 7376	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7376	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnacl 6538	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
6		elni2 7381	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7		nnaordi 6566	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
8		ne0i 3457	. . . . . . . 8 |- ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
9	7, 8	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) )
10	9	expcom 116	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) )
11	10	imp32 257	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
12	6, 11	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
13		elni 7375	. . . 4 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ ( A +o B ) =/= (/) ) )
14	5, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
15	2, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
16	1, 15	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   =/= wne 2367   (/)c0 3450   omcom 4626  (class class class)co 5922   +o coa 6471   N.cnpi 7339   +N cpli 7340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-ni 7371  df-pli 7372

This theorem is referenced by:  addasspig  7397  distrpig  7400  ltapig  7405  1lt2pi  7407  indpi  7409  addcmpblnq  7434  addpipqqslem  7436  addclnq  7442  addassnqg  7449  distrnqg  7454  ltanqg  7467  1lt2nq  7473  ltexnqq  7475  archnqq  7484  prarloclemarch2  7486  nqnq0a  7521  nntopi  7961