Theorem addclpi 7226

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7215	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2		pinn 7208	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7208	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnacl 6416	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
5	3, 4	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
6		elni2 7213	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7		nnaordi 6444	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
8		ne0i 3396	. . . . . . . 8 |- ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
9	7, 8	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) )
10	9	expcom 115	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) )
11	10	imp32 255	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
12	6, 11	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
13		elni 7207	. . . 4 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ ( A +o B ) =/= (/) ) )
14	5, 12, 13	sylanbrc 414	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
15	2, 14	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
16	1, 15	eqeltrd 2231	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2125   =/= wne 2324   (/)c0 3390   omcom 4543  (class class class)co 5814   +o coa 6350   N.cnpi 7171   +N cpli 7172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-oadd 6357  df-ni 7203  df-pli 7204

This theorem is referenced by:  addasspig  7229  distrpig  7232  ltapig  7237  1lt2pi  7239  indpi  7241  addcmpblnq  7266  addpipqqslem  7268  addclnq  7274  addassnqg  7281  distrnqg  7286  ltanqg  7299  1lt2nq  7305  ltexnqq  7307  archnqq  7316  prarloclemarch2  7318  nqnq0a  7353  nntopi  7793