Theorem addclpi 7694

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7683	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2		pinn 7676	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7676	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnacl 6753	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
6		elni2 7681	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7		nnaordi 6781	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
8		ne0i 3528	. . . . . . . 8 |- ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
9	7, 8	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) )
10	9	expcom 116	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) )
11	10	imp32 257	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
12	6, 11	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
13		elni 7675	. . . 4 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ ( A +o B ) =/= (/) ) )
14	5, 12, 13	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
15	2, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
16	1, 15	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   omcom 4737  (class class class)co 6085   +o coa 6684   N.cnpi 7639   +N cpli 7640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-ni 7671  df-pli 7672

This theorem is used by:  addasspig  7697  distrpig  7700  ltapig  7705  1lt2pi  7707  indpi  7709  addcmpblnq  7734  addpipqqslem  7736  addclnq  7742  addassnqg  7749  distrnqg  7754  ltanqg  7767  1lt2nq  7773  ltexnqq  7775  archnqq  7784  prarloclemarch2  7786  nqnq0a  7821  nntopi  8261