Theorem addclpi 7036

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7025	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2		pinn 7018	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7018	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnacl 6306	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
5	3, 4	sylan2 282	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
6		elni2 7023	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7		nnaordi 6334	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
8		ne0i 3316	. . . . . . . 8 |- ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
9	7, 8	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) )
10	9	expcom 115	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) )
11	10	imp32 255	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
12	6, 11	sylan2b 283	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
13		elni 7017	. . . 4 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ ( A +o B ) =/= (/) ) )
14	5, 12, 13	sylanbrc 411	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
15	2, 14	sylan 279	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
16	1, 15	eqeltrd 2176	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   =/= wne 2267   (/)c0 3310   omcom 4442  (class class class)co 5706   +o coa 6240   N.cnpi 6981   +N cpli 6982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-ni 7013  df-pli 7014

This theorem is referenced by:  addasspig  7039  distrpig  7042  ltapig  7047  1lt2pi  7049  indpi  7051  addcmpblnq  7076  addpipqqslem  7078  addclnq  7084  addassnqg  7091  distrnqg  7096  ltanqg  7109  1lt2nq  7115  ltexnqq  7117  archnqq  7126  prarloclemarch2  7128  nqnq0a  7163  nntopi  7579