ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclpi Unicode version

Theorem addclpi 7103
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 7092 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2 pinn 7085 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
3 pinn 7085 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
4 nnacl 6344 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
53, 4sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
6 elni2 7090 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
7 nnaordi 6372 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
8 ne0i 3339 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) )
97, 8syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  B
)  =/=  (/) ) )
109expcom 115 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) ) ) )
1110imp32 255 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =/=  (/) )
126, 11sylan2b 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  =/=  (/) )
13 elni 7084 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  +o  B )  e. 
om  /\  ( A  +o  B )  =/=  (/) ) )
145, 12, 13sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
152, 14sylan 281 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
161, 15eqeltrd 2194 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465    =/= wne 2285   (/)c0 3333   omcom 4474  (class class class)co 5742    +o coa 6278   N.cnpi 7048    +N cpli 7049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-ni 7080  df-pli 7081
This theorem is referenced by:  addasspig  7106  distrpig  7109  ltapig  7114  1lt2pi  7116  indpi  7118  addcmpblnq  7143  addpipqqslem  7145  addclnq  7151  addassnqg  7158  distrnqg  7163  ltanqg  7176  1lt2nq  7182  ltexnqq  7184  archnqq  7193  prarloclemarch2  7195  nqnq0a  7230  nntopi  7670
  Copyright terms: Public domain W3C validator