Theorem mulclpi 7326

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7315	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2		pinn 7307	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7307	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnmcl 6481	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. om )
6		elni2 7312	. . . . . . 7 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( B e. N. -> (/) e. B )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. B )
9	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. om )
10	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. om )
11		elni2 7312	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. A )
14		nnmordi 6516	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 1237	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
16	8, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) )
17		ne0i 3429	. . . 4 |- ( ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
19		elni 7306	. . 3 |- ( ( A .o B ) e. N. <-> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o B ) =/= (/) ) )
20	5, 18, 19	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. N. )
21	1, 20	eqeltrd 2254	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3422   omcom 4589  (class class class)co 5874   .o comu 6414   N.cnpi 7270   .N cmi 7272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-ni 7302  df-mi 7304

This theorem is referenced by:  mulasspig  7330  distrpig  7331  ltmpig  7337  enqer  7356  enqdc  7359  addcmpblnq  7365  mulcmpblnq  7366  addpipqqslem  7367  mulpipq2  7369  mulpipqqs  7371  ordpipqqs  7372  addclnq  7373  mulclnq  7374  addcomnqg  7379  addassnqg  7380  mulassnqg  7382  mulcanenq  7383  distrnqg  7385  recexnq  7388  nqtri3or  7394  ltdcnq  7395  ltsonq  7396  ltanqg  7398  ltmnqg  7399  1lt2nq  7404  ltexnqq  7406  archnqq  7415  addcmpblnq0  7441  mulcmpblnq0  7442  mulcanenq0ec  7443  addclnq0  7449  mulclnq0  7450  nqpnq0nq  7451  nqnq0a  7452  nqnq0m  7453  nq0m0r  7454  distrnq0  7457  addassnq0lemcl  7459