Theorem mulclpi 7526

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7515	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2		pinn 7507	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7507	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnmcl 6635	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. om )
6		elni2 7512	. . . . . . 7 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( B e. N. -> (/) e. B )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. B )
9	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. om )
10	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. om )
11		elni2 7512	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. A )
14		nnmordi 6670	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 1270	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
16	8, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) )
17		ne0i 3498	. . . 4 |- ( ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
19		elni 7506	. . 3 |- ( ( A .o B ) e. N. <-> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o B ) =/= (/) ) )
20	5, 18, 19	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. N. )
21	1, 20	eqeltrd 2306	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   omcom 4682  (class class class)co 6007   .o comu 6566   N.cnpi 7470   .N cmi 7472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-ni 7502  df-mi 7504

This theorem is referenced by:  mulasspig  7530  distrpig  7531  ltmpig  7537  enqer  7556  enqdc  7559  addcmpblnq  7565  mulcmpblnq  7566  addpipqqslem  7567  mulpipq2  7569  mulpipqqs  7571  ordpipqqs  7572  addclnq  7573  mulclnq  7574  addcomnqg  7579  addassnqg  7580  mulassnqg  7582  mulcanenq  7583  distrnqg  7585  recexnq  7588  nqtri3or  7594  ltdcnq  7595  ltsonq  7596  ltanqg  7598  ltmnqg  7599  1lt2nq  7604  ltexnqq  7606  archnqq  7615  addcmpblnq0  7641  mulcmpblnq0  7642  mulcanenq0ec  7643  addclnq0  7649  mulclnq0  7650  nqpnq0nq  7651  nqnq0a  7652  nqnq0m  7653  nq0m0r  7654  distrnq0  7657  addassnq0lemcl  7659