Theorem mulclpi 7591

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7580	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2		pinn 7572	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7572	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnmcl 6692	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. om )
6		elni2 7577	. . . . . . 7 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7	6	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( B e. N. -> (/) e. B )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. B )
9	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. om )
10	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. om )
11		elni2 7577	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
12	11	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
13	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. A )
14		nnmordi 6727	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 1273	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
16	8, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) )
17		ne0i 3503	. . . 4 |- ( ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
19		elni 7571	. . 3 |- ( ( A .o B ) e. N. <-> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o B ) =/= (/) ) )
20	5, 18, 19	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. N. )
21	1, 20	eqeltrd 2308	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   =/= wne 2403   (/)c0 3496   omcom 4694  (class class class)co 6028   .o comu 6623   N.cnpi 7535   .N cmi 7537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-ni 7567  df-mi 7569

This theorem is referenced by:  mulasspig  7595  distrpig  7596  ltmpig  7602  enqer  7621  enqdc  7624  addcmpblnq  7630  mulcmpblnq  7631  addpipqqslem  7632  mulpipq2  7634  mulpipqqs  7636  ordpipqqs  7637  addclnq  7638  mulclnq  7639  addcomnqg  7644  addassnqg  7645  mulassnqg  7647  mulcanenq  7648  distrnqg  7650  recexnq  7653  nqtri3or  7659  ltdcnq  7660  ltsonq  7661  ltanqg  7663  ltmnqg  7664  1lt2nq  7669  ltexnqq  7671  archnqq  7680  addcmpblnq0  7706  mulcmpblnq0  7707  mulcanenq0ec  7708  addclnq0  7714  mulclnq0  7715  nqpnq0nq  7716  nqnq0a  7717  nqnq0m  7718  nq0m0r  7719  distrnq0  7722  addassnq0lemcl  7724