Theorem mulclpi 7160

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7149	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2		pinn 7141	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7141	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnmcl 6385	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. om )
6		elni2 7146	. . . . . . 7 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7	6	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( B e. N. -> (/) e. B )
8	7	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. B )
9	3	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. om )
10	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. om )
11		elni2 7146	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
12	11	simprbi 273	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
13	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. A )
14		nnmordi 6420	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 1216	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) )
16	8, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) )
17		ne0i 3374	. . . 4 |- ( ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
19		elni 7140	. . 3 |- ( ( A .o B ) e. N. <-> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o B ) =/= (/) ) )
20	5, 18, 19	sylanbrc 414	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. N. )
21	1, 20	eqeltrd 2217	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   =/= wne 2309   (/)c0 3368   omcom 4512  (class class class)co 5782   .o comu 6319   N.cnpi 7104   .N cmi 7106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-ni 7136  df-mi 7138

This theorem is referenced by:  mulasspig  7164  distrpig  7165  ltmpig  7171  enqer  7190  enqdc  7193  addcmpblnq  7199  mulcmpblnq  7200  addpipqqslem  7201  mulpipq2  7203  mulpipqqs  7205  ordpipqqs  7206  addclnq  7207  mulclnq  7208  addcomnqg  7213  addassnqg  7214  mulassnqg  7216  mulcanenq  7217  distrnqg  7219  recexnq  7222  nqtri3or  7228  ltdcnq  7229  ltsonq  7230  ltanqg  7232  ltmnqg  7233  1lt2nq  7238  ltexnqq  7240  archnqq  7249  addcmpblnq0  7275  mulcmpblnq0  7276  mulcanenq0ec  7277  addclnq0  7283  mulclnq0  7284  nqpnq0nq  7285  nqnq0a  7286  nqnq0m  7287  nq0m0r  7288  distrnq0  7291  addassnq0lemcl  7293