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Theorem indpi 7409
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
indpi.2 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
indpi.3 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
indpi.4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
indpi.5 |- ps
indpi.6 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi |- ( A e. N. -> ta )
Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y
Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)
Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2 elni 7375 . . 3 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ x =/= (/) ) )
3 eqid 2196 . . . . . . . . . 10 |- (/) = (/)
43orci 732 . . . . . . . . 9 |- ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
5 nfv 1542 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x (/) = (/)
6 nfsbc1v 3008 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. (/) / x ]. ph
75, 6nfor 1588 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
8 0ex 4160 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
9 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
10 sbceq1a 2999 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
119, 10orbi12d 794 . . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) ) )
127, 8, 11elabf 2907 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) )
134, 12mpbir 146 . . . . . . . 8 |- (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
14 suceq 4437 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
15 df-1o 6474 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o = suc (/)
1614, 15eqtr4di 2247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> suc y = 1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ps
1817olci 733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o = (/) \/ ps )
19 1oex 6482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. _V
20 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
21 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
2220, 21orbi12d 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( 1o = (/) \/ ps ) ) )
2319, 22elab 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( 1o = (/) \/ ps ) )
2418, 23mpbir 146 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
2516, 24eqeltrdi 2287 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
2625a1d 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
28 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
29 elni 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. <-> ( y e. om /\ y =/= (/) ) )
3029simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> y =/= (/) )
3130neneqd 2388 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. y = (/) )
32 biorf 745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y = (/) -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
34 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
35 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
36 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
3735, 36orbi12d 794 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3834, 37elab 2908 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( y = (/) \/ ch ) )
3933, 38bitr4di 198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch <-> y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
40 1pi 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o e. N.
41 addclpi 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) e. N. )
4240, 41mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) e. N. )
43 elni 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +N 1o ) e. N. <-> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4442, 43sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4544simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) =/= (/) )
4645neneqd 2388 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. ( y +N 1o ) = (/) )
47 biorf 745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( y +N 1o ) = (/) -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
49 eqeq1 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( x = (/) <-> ( y +N 1o ) = (/) ) )
50 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
5149, 50orbi12d 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5251elabg 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +N 1o ) e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5342, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
54 addpiord 7383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
5540, 54mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
56 pion 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> y e. On )
57 oa1suc 6525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> ( y +o 1o ) = suc y )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +o 1o ) = suc y )
5955, 58eqtrd 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = suc y )
6059eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6148, 53, 603bitr2d 216 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( th <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6228, 39, 613imtr3d 202 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6362a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
64 nndceq0 4654 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> DECID y = (/) )
65 df-dc 836 . . . . . . . . . . . 12 |- (DECID y = (/) <-> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
6664, 65sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
67 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> y = (/) ) )
6867necon3bd 2410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y =/= (/) ) )
6968anc2li 329 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> ( y e. om /\ y =/= (/) ) ) )
7069, 29imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y e. N. ) )
7170orim2d 789 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( y = (/) \/ -. y = (/) ) -> ( y = (/) \/ y e. N. ) ) )
7266, 71mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ y e. N. ) )
7327, 63, 72mpjaod 719 . . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
7473rgen 2550 . . . . . . . 8 |- A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
75 peano5 4634 . . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } /\ A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) -> om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
7613, 74, 75mp2an 426 . . . . . . 7 |- om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) }
7776sseli 3179 . . . . . 6 |- ( x e. om -> x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
78 abid 2184 . . . . . 6 |- ( x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( x = (/) \/ ph ) )
7977, 78sylib 122 . . . . 5 |- ( x e. om -> ( x = (/) \/ ph ) )
8079adantr 276 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( x = (/) \/ ph ) )
81 df-ne 2368 . . . . . 6 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
82 biorf 745 . . . . . 6 |- ( -. x = (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8381, 82sylbi 121 . . . . 5 |- ( x =/= (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8483adantl 277 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8580, 84mpbird 167 . . 3 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ph )
862, 85sylbi 121 . 2 |- ( x e. N. -> ph )
871, 86vtoclga 2830 1 |- ( A e. N. -> ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   =/= wne 2367   A.wral 2475   [.wsbc 2989   C_ wss 3157   (/)c0 3450   Oncon0 4398   suc csuc 4400   omcom 4626  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   +o coa 6471   N.cnpi 7339   +N cpli 7340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-ni 7371  df-pli 7372
This theorem is referenced by:  pitonn  7915
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