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Theorem indpi 7283
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
indpi.2 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
indpi.3 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
indpi.4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
indpi.5 |- ps
indpi.6 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi |- ( A e. N. -> ta )
Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y
Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)
Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2 elni 7249 . . 3 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ x =/= (/) ) )
3 eqid 2165 . . . . . . . . . 10 |- (/) = (/)
43orci 721 . . . . . . . . 9 |- ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
5 nfv 1516 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x (/) = (/)
6 nfsbc1v 2969 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. (/) / x ]. ph
75, 6nfor 1562 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
8 0ex 4109 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
9 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
10 sbceq1a 2960 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
119, 10orbi12d 783 . . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) ) )
127, 8, 11elabf 2869 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) )
134, 12mpbir 145 . . . . . . . 8 |- (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
14 suceq 4380 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
15 df-1o 6384 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o = suc (/)
1614, 15eqtr4di 2217 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> suc y = 1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ps
1817olci 722 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o = (/) \/ ps )
19 1oex 6392 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. _V
20 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
21 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
2220, 21orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( 1o = (/) \/ ps ) ) )
2319, 22elab 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( 1o = (/) \/ ps ) )
2418, 23mpbir 145 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
2516, 24eqeltrdi 2257 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
2625a1d 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
28 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
29 elni 7249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. <-> ( y e. om /\ y =/= (/) ) )
3029simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> y =/= (/) )
3130neneqd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. y = (/) )
32 biorf 734 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y = (/) -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
34 vex 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
35 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
36 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
3735, 36orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3834, 37elab 2870 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( y = (/) \/ ch ) )
3933, 38bitr4di 197 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch <-> y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
40 1pi 7256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o e. N.
41 addclpi 7268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) e. N. )
4240, 41mpan2 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) e. N. )
43 elni 7249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +N 1o ) e. N. <-> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4544simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) =/= (/) )
4645neneqd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. ( y +N 1o ) = (/) )
47 biorf 734 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( y +N 1o ) = (/) -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
49 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( x = (/) <-> ( y +N 1o ) = (/) ) )
50 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
5149, 50orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5251elabg 2872 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +N 1o ) e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5342, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
54 addpiord 7257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
5540, 54mpan2 422 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
56 pion 7251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> y e. On )
57 oa1suc 6435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> ( y +o 1o ) = suc y )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +o 1o ) = suc y )
5955, 58eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = suc y )
6059eleq1d 2235 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6148, 53, 603bitr2d 215 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( th <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6228, 39, 613imtr3d 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6362a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
64 nndceq0 4595 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> DECID y = (/) )
65 df-dc 825 . . . . . . . . . . . 12 |- (DECID y = (/) <-> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
6664, 65sylib 121 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
67 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> y = (/) ) )
6867necon3bd 2379 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y =/= (/) ) )
6968anc2li 327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> ( y e. om /\ y =/= (/) ) ) )
7069, 29syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y e. N. ) )
7170orim2d 778 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( y = (/) \/ -. y = (/) ) -> ( y = (/) \/ y e. N. ) ) )
7266, 71mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ y e. N. ) )
7327, 63, 72mpjaod 708 . . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
7473rgen 2519 . . . . . . . 8 |- A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
75 peano5 4575 . . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } /\ A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) -> om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
7613, 74, 75mp2an 423 . . . . . . 7 |- om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) }
7776sseli 3138 . . . . . 6 |- ( x e. om -> x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
78 abid 2153 . . . . . 6 |- ( x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( x = (/) \/ ph ) )
7977, 78sylib 121 . . . . 5 |- ( x e. om -> ( x = (/) \/ ph ) )
8079adantr 274 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( x = (/) \/ ph ) )
81 df-ne 2337 . . . . . 6 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
82 biorf 734 . . . . . 6 |- ( -. x = (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8381, 82sylbi 120 . . . . 5 |- ( x =/= (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8483adantl 275 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8580, 84mpbird 166 . . 3 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ph )
862, 85sylbi 120 . 2 |- ( x e. N. -> ph )
871, 86vtoclga 2792 1 |- ( A e. N. -> ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   =/= wne 2336   A.wral 2444   [.wsbc 2951   C_ wss 3116   (/)c0 3409   Oncon0 4341   suc csuc 4343   omcom 4567  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   +o coa 6381   N.cnpi 7213   +N cpli 7214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-ni 7245  df-pli 7246
This theorem is referenced by:  pitonn  7789
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