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Theorem indpi 7143
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
indpi.2 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
indpi.3 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
indpi.4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
indpi.5 |- ps
indpi.6 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi |- ( A e. N. -> ta )
Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y
Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)
Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2 elni 7109 . . 3 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ x =/= (/) ) )
3 eqid 2137 . . . . . . . . . 10 |- (/) = (/)
43orci 720 . . . . . . . . 9 |- ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
5 nfv 1508 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x (/) = (/)
6 nfsbc1v 2922 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. (/) / x ]. ph
75, 6nfor 1553 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
8 0ex 4050 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
9 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
10 sbceq1a 2913 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
119, 10orbi12d 782 . . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) ) )
127, 8, 11elabf 2822 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) )
134, 12mpbir 145 . . . . . . . 8 |- (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
14 suceq 4319 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
15 df-1o 6306 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o = suc (/)
1614, 15syl6eqr 2188 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> suc y = 1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ps
1817olci 721 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o = (/) \/ ps )
19 1oex 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. _V
20 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
21 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
2220, 21orbi12d 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( 1o = (/) \/ ps ) ) )
2319, 22elab 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( 1o = (/) \/ ps ) )
2418, 23mpbir 145 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
2516, 24eqeltrdi 2228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
2625a1d 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
28 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
29 elni 7109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. <-> ( y e. om /\ y =/= (/) ) )
3029simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> y =/= (/) )
3130neneqd 2327 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. y = (/) )
32 biorf 733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y = (/) -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
34 vex 2684 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
35 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
36 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
3735, 36orbi12d 782 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3834, 37elab 2823 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( y = (/) \/ ch ) )
3933, 38syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch <-> y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
40 1pi 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o e. N.
41 addclpi 7128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) e. N. )
4240, 41mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) e. N. )
43 elni 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +N 1o ) e. N. <-> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4544simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) =/= (/) )
4645neneqd 2327 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. ( y +N 1o ) = (/) )
47 biorf 733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( y +N 1o ) = (/) -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
49 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( x = (/) <-> ( y +N 1o ) = (/) ) )
50 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
5149, 50orbi12d 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5251elabg 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +N 1o ) e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5342, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
54 addpiord 7117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
5540, 54mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
56 pion 7111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> y e. On )
57 oa1suc 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> ( y +o 1o ) = suc y )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +o 1o ) = suc y )
5955, 58eqtrd 2170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = suc y )
6059eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6148, 53, 603bitr2d 215 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( th <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6228, 39, 613imtr3d 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6362a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
64 nndceq0 4526 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> DECID y = (/) )
65 df-dc 820 . . . . . . . . . . . 12 |- (DECID y = (/) <-> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
6664, 65sylib 121 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
67 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> y = (/) ) )
6867necon3bd 2349 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y =/= (/) ) )
6968anc2li 327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> ( y e. om /\ y =/= (/) ) ) )
7069, 29syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y e. N. ) )
7170orim2d 777 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( y = (/) \/ -. y = (/) ) -> ( y = (/) \/ y e. N. ) ) )
7266, 71mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ y e. N. ) )
7327, 63, 72mpjaod 707 . . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
7473rgen 2483 . . . . . . . 8 |- A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
75 peano5 4507 . . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } /\ A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) -> om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
7613, 74, 75mp2an 422 . . . . . . 7 |- om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) }
7776sseli 3088 . . . . . 6 |- ( x e. om -> x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
78 abid 2125 . . . . . 6 |- ( x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( x = (/) \/ ph ) )
7977, 78sylib 121 . . . . 5 |- ( x e. om -> ( x = (/) \/ ph ) )
8079adantr 274 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( x = (/) \/ ph ) )
81 df-ne 2307 . . . . . 6 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
82 biorf 733 . . . . . 6 |- ( -. x = (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8381, 82sylbi 120 . . . . 5 |- ( x =/= (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8483adantl 275 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8580, 84mpbird 166 . . 3 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ph )
862, 85sylbi 120 . 2 |- ( x e. N. -> ph )
871, 86vtoclga 2747 1 |- ( A e. N. -> ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2123   =/= wne 2306   A.wral 2414   [.wsbc 2904   C_ wss 3066   (/)c0 3358   Oncon0 4280   suc csuc 4282   omcom 4499  (class class class)co 5767   1oc1o 6299   +o coa 6303   N.cnpi 7073   +N cpli 7074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-ni 7105  df-pli 7106
This theorem is referenced by:  pitonn  7649
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