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Theorem indpi 7173
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2 elni 7139 . . 3  |-  ( x  e.  N.  <->  ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) ) )
3 eqid 2140 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (/)
43orci 721 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
5 nfv 1509 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x (/)  =  (/)
6 nfsbc1v 2930 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. (/)  /  x ]. ph
75, 6nfor 1554 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
8 0ex 4062 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
9 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  (/)  <->  (/)  =  (/) ) )
10 sbceq1a 2921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
119, 10orbi12d 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  (/)  \/  ph ) 
<->  ( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
127, 8, 11elabf 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <->  ( (/)  =  (/)  \/ 
[. (/)  /  x ]. ph ) )
134, 12mpbir 145 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  {
x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
14 suceq 4331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
15 df-1o 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  =  suc  (/)
1614, 15eqtr4di 2191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ps
1817olci 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
19 1oex 6328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  _V
20 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
21 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2220, 21orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
) )
2319, 22elab 2831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
)
2418, 23mpbir 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
2516, 24eqeltrdi 2231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
2625a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
2726a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) ) )
28 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
29 elni 7139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
3029simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  y  =/=  (/) )
3130neneqd 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  -.  y  =  (/) )
32 biorf 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  ( ch 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
ch ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
ch ) ) )
34 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
35 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
36 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3735, 36orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( y  =  (/)  \/  ch )
) )
3834, 37elab 2831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( y  =  (/)  \/  ch )
)
3933, 38syl6bbr 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch 
<->  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
40 1pi 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  N.
41 addclpi 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
4240, 41mpan2 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
43 elni 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +N  1o )  e.  N.  <->  ( (
y  +N  1o )  e.  om  /\  (
y  +N  1o )  =/=  (/) ) )
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  om  /\  (
y  +N  1o )  =/=  (/) ) )
4544simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =/=  (/) )
4645neneqd 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  -.  ( y  +N  1o )  =  (/) )
47 biorf 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( y  +N  1o )  =  (/)  ->  ( th 
<->  ( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  ( th 
<->  ( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
49 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  +N  1o )  =  (/) ) )
50 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
5149, 50orbi12d 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( (
y  +N  1o )  =  (/)  \/  th )
) )
5251elabg 2833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +N  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <-> 
( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
5342, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <-> 
( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
54 addpiord 7147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
5540, 54mpan2 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
56 pion 7141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
57 oa1suc 6370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
5955, 58eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6059eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6148, 53, 603bitr2d 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( th 
<->  suc  y  e.  {
x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6228, 39, 613imtr3d 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6362a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  e.  N.  ->  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) ) )
64 nndceq0 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  -> DECID  y  =  (/) )
65 df-dc 821 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  y  =  (/) 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
-.  y  =  (/) ) )
6664, 65sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  \/  -.  y  =  (/) ) )
67 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  ->  y  =  (/) ) )
6867necon3bd 2352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) ) )
6968anc2li 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  (
y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7069, 29syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  y  e.  N. ) )
7170orim2d 778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
-.  y  =  (/) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  e.  N. ) ) )
7266, 71mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  \/  y  e.  N. ) )
7327, 63, 72mpjaod 708 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
7473rgen 2488 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  om  ( y  e. 
{ x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
75 peano5 4519 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  /\  A. y  e. 
om  ( y  e. 
{ x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )  ->  om  C_  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) } )
7613, 74, 75mp2an 423 . . . . . . 7  |-  om  C_  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
7776sseli 3097 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
78 abid 2128 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( x  =  (/)  \/  ph )
)
7977, 78sylib 121 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  =  (/)  \/  ph ) )
8079adantr 274 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
x  =  (/)  \/  ph ) )
81 df-ne 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
82 biorf 734 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( ph 
<->  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) ) )
8381, 82sylbi 120 . . . . 5  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( ph  <->  ( x  =  (/)  \/  ph ) ) )
8483adantl 275 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ph 
<->  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) ) )
8580, 84mpbird 166 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  ph )
862, 85sylbi 120 . 2  |-  ( x  e.  N.  ->  ph )
871, 86vtoclga 2755 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1332    e. wcel 1481   {cab 2126    =/= wne 2309   A.wral 2417   [.wsbc 2912    C_ wss 3075   (/)c0 3367   Oncon0 4292   suc csuc 4294   omcom 4511  (class class class)co 5781   1oc1o 6313    +o coa 6317   N.cnpi 7103    +N cpli 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-ni 7135  df-pli 7136
This theorem is referenced by:  pitonn  7679
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