Theorem eldifsn 3573

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3009	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3465	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2296	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 443	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 183	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   =/= wne 2256   \ cdif 2997   {csn 3450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-v 2622  df-dif 3002  df-sn 3456

This theorem is referenced by:  eldifsni  3575  rexdifsn  3578  difsn  3580  fnniniseg2  5436  rexsupp  5437  suppssfv  5866  suppssov1  5867  dif1o  6216  fidifsnen  6640  en2eleq  6882  en2other2  6883  elni  6928  divvalap  8202  elnnne0  8748  divfnzn  9167  modfzo0difsn  9863  modsumfzodifsn  9864  hashdifpr  10289  eff2  11031  tanvalap  11060  fzo0dvdseq  11197  oddprmgt2  11454  setsslnid  11606