Theorem eldifsn 3721

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3140	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3609	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2387	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 184	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3128   {csn 3594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-v 2741  df-dif 3133  df-sn 3600

This theorem is referenced by:  eldifsni  3723  rexdifsn  3726  difsn  3731  fnniniseg2  5641  rexsupp  5642  mpodifsnif  5970  suppssfv  6081  suppssov1  6082  dif1o  6441  fidifsnen  6872  en2eleq  7196  en2other2  7197  elni  7309  divvalap  8633  elnnne0  9192  divfnzn  9623  modfzo0difsn  10397  modsumfzodifsn  10398  hashdifpr  10802  eff2  11690  tanvalap  11718  fzo0dvdseq  11865  oddprmgt2  12136  oddprmdvds  12354  setsslnid  12516  grpinvnzcl  12947  lssneln0  13465  rplogbval  14402  lgsfcl2  14446  lgsval2lem  14450  lgsval3  14458  lgsmod  14466  lgsdirprm  14474  lgsne0  14478