Theorem eldifsn 3658

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3085	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3547	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2349	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 183	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   =/= wne 2309   \ cdif 3073   {csn 3532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-v 2691  df-dif 3078  df-sn 3538

This theorem is referenced by:  eldifsni  3660  rexdifsn  3663  difsn  3665  fnniniseg2  5551  rexsupp  5552  mpodifsnif  5872  suppssfv  5986  suppssov1  5987  dif1o  6343  fidifsnen  6772  en2eleq  7068  en2other2  7069  elni  7140  divvalap  8458  elnnne0  9015  divfnzn  9440  modfzo0difsn  10199  modsumfzodifsn  10200  hashdifpr  10598  eff2  11423  tanvalap  11451  fzo0dvdseq  11591  oddprmgt2  11850  setsslnid  12049  rplogbval  13070