Theorem eldifsn 3841

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3724	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2460	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 184	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3715

This theorem is used by:  eldifsni  3843  rexdifsn  3846  eldifvsn  3847  difsn  3852  fnniniseg2  5832  mpodifsnif  6181  suppssov1  6299  mptsuppd  6496  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  suppssfvg  6503  dif1o  6711  fidifsnen  7172  en2eleq  7548  en2other2  7549  elni  7676  divvalap  9007  elnnne0  9582  divfnzn  10031  modfzo0difsn  10847  modsumfzodifsn  10848  hashdifpr  11277  eff2  12466  tanvalap  12494  fzo0dvdseq  12643  oddprmgt2  12932  oddprmdvds  13156  4sqlem19  13211  prmlem0  13243  prmlem1a  13244  setsslnid  13456  grpinvnzcl  13930  lssneln0  14795  rplogbval  16147  lgsfcl2  16296  lgsval2lem  16300  lgsval3  16308  lgsmod  16316  lgsdirprm  16324  lgsne0  16328  gausslemma2dlem0f  16344  lgsquad2lem2  16372  2lgsoddprm  16403  eupth2lem3lem3fi  16882