Theorem eldifsn 3645

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3075	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3537	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2346	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 449	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 183	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   =/= wne 2306   \ cdif 3063   {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-v 2683  df-dif 3068  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  eldifsni  3647  rexdifsn  3650  difsn  3652  fnniniseg2  5536  rexsupp  5537  mpodifsnif  5857  suppssfv  5971  suppssov1  5972  dif1o  6328  fidifsnen  6757  en2eleq  7044  en2other2  7045  elni  7109  divvalap  8427  elnnne0  8984  divfnzn  9406  modfzo0difsn  10161  modsumfzodifsn  10162  hashdifpr  10559  eff2  11375  tanvalap  11404  fzo0dvdseq  11544  oddprmgt2  11803  setsslnid  11999