Theorem eldifsn 3841

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3724	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2460	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 184	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3715

This theorem is used by:  eldifsni  3843  rexdifsn  3846  eldifvsn  3847  difsn  3852  fnniniseg2  5832  mpodifsnif  6181  suppssov1  6299  mptsuppd  6496  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  suppssfvg  6503  dif1o  6711  fidifsnen  7172  en2eleq  7547  en2other2  7548  elni  7675  divvalap  9006  elnnne0  9581  divfnzn  10030  modfzo0difsn  10845  modsumfzodifsn  10846  hashdifpr  11275  eff2  12463  tanvalap  12491  fzo0dvdseq  12640  oddprmgt2  12929  oddprmdvds  13153  4sqlem19  13208  prmlem0  13240  prmlem1a  13241  setsslnid  13453  grpinvnzcl  13926  lssneln0  14760  rplogbval  16100  lgsfcl2  16244  lgsval2lem  16248  lgsval3  16256  lgsmod  16264  lgsdirprm  16272  lgsne0  16276  gausslemma2dlem0f  16292  lgsquad2lem2  16320  2lgsoddprm  16351  eupth2lem3lem3fi  16830