Theorem eldifsn 3708

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3130	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3596	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2380	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 451	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 183	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   =/= wne 2340   \ cdif 3118   {csn 3581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-sn 3587

This theorem is referenced by:  eldifsni  3710  rexdifsn  3713  difsn  3715  fnniniseg2  5617  rexsupp  5618  mpodifsnif  5944  suppssfv  6055  suppssov1  6056  dif1o  6415  fidifsnen  6846  en2eleq  7165  en2other2  7166  elni  7263  divvalap  8584  elnnne0  9142  divfnzn  9573  modfzo0difsn  10344  modsumfzodifsn  10345  hashdifpr  10748  eff2  11636  tanvalap  11664  fzo0dvdseq  11810  oddprmgt2  12081  oddprmdvds  12299  setsslnid  12460  rplogbval  13622  lgsfcl2  13666  lgsval2lem  13670  lgsval3  13678  lgsmod  13686  lgsdirprm  13694  lgsne0  13698