Theorem eldifsn 3795

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3206	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3681	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2440	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 184	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   =/= wne 2400   \ cdif 3194   {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  eldifsni  3797  rexdifsn  3800  difsn  3805  fnniniseg2  5760  rexsupp  5761  mpodifsnif  6103  suppssfv  6220  suppssov1  6221  dif1o  6592  fidifsnen  7040  en2eleq  7381  en2other2  7382  elni  7503  divvalap  8829  elnnne0  9391  divfnzn  9824  modfzo0difsn  10625  modsumfzodifsn  10626  hashdifpr  11050  eff2  12199  tanvalap  12227  fzo0dvdseq  12376  oddprmgt2  12664  oddprmdvds  12885  4sqlem19  12940  setsslnid  13092  grpinvnzcl  13613  lssneln0  14346  rplogbval  15627  lgsfcl2  15693  lgsval2lem  15697  lgsval3  15705  lgsmod  15713  lgsdirprm  15721  lgsne0  15725  gausslemma2dlem0f  15741  lgsquad2lem2  15769  2lgsoddprm  15800