ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldifsn Unicode version

Theorem eldifsn 3650
Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
eldifsn  |-  ( A  e.  ( B  \  { C } )  <->  ( A  e.  B  /\  A  =/= 
C ) )

Proof of Theorem eldifsn
StepHypRef Expression
1 eldif 3080 . 2  |-  ( A  e.  ( B  \  { C } )  <->  ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  { C } ) )
2 elsng 3542 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  { C } 
<->  A  =  C ) )
32necon3bbid 2348 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  ( -.  A  e.  { C } 
<->  A  =/=  C ) )
43pm5.32i 449 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  { C } )  <->  ( A  e.  B  /\  A  =/= 
C ) )
51, 4bitri 183 1  |-  ( A  e.  ( B  \  { C } )  <->  ( A  e.  B  /\  A  =/= 
C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480    =/= wne 2308    \ cdif 3068   {csn 3527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-sn 3533
This theorem is referenced by:  eldifsni  3652  rexdifsn  3655  difsn  3657  fnniniseg2  5543  rexsupp  5544  mpodifsnif  5864  suppssfv  5978  suppssov1  5979  dif1o  6335  fidifsnen  6764  en2eleq  7056  en2other2  7057  elni  7128  divvalap  8446  elnnne0  9003  divfnzn  9425  modfzo0difsn  10180  modsumfzodifsn  10181  hashdifpr  10578  eff2  11398  tanvalap  11426  fzo0dvdseq  11566  oddprmgt2  11825  setsslnid  12024
  Copyright terms: Public domain W3C validator