Theorem eldifsn 3734

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3153	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3622	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2400	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 184	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   =/= wne 2360   \ cdif 3141   {csn 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-v 2754  df-dif 3146  df-sn 3613

This theorem is referenced by:  eldifsni  3736  rexdifsn  3739  difsn  3744  fnniniseg2  5660  rexsupp  5661  mpodifsnif  5989  suppssfv  6102  suppssov1  6103  dif1o  6463  fidifsnen  6898  en2eleq  7224  en2other2  7225  elni  7337  divvalap  8661  elnnne0  9220  divfnzn  9651  modfzo0difsn  10426  modsumfzodifsn  10427  hashdifpr  10832  eff2  11720  tanvalap  11748  fzo0dvdseq  11895  oddprmgt2  12166  oddprmdvds  12386  4sqlem19  12441  setsslnid  12564  grpinvnzcl  13016  lssneln0  13690  rplogbval  14823  lgsfcl2  14868  lgsval2lem  14872  lgsval3  14880  lgsmod  14888  lgsdirprm  14896  lgsne0  14900