Theorem eldifsn 3750

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsn	|- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Proof of Theorem eldifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3166	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ -. A e. { C } ) )
2		elsng 3638	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. { C } <-> A = C ) )
3	2	necon3bbid 2407	. . 3 |- ( A e. B -> ( -. A e. { C } <-> A =/= C ) )
4	3	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
5	1, 4	bitri 184	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-v 2765  df-dif 3159  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  eldifsni  3752  rexdifsn  3755  difsn  3760  fnniniseg2  5688  rexsupp  5689  mpodifsnif  6019  suppssfv  6135  suppssov1  6136  dif1o  6505  fidifsnen  6940  en2eleq  7274  en2other2  7275  elni  7392  divvalap  8718  elnnne0  9280  divfnzn  9712  modfzo0difsn  10504  modsumfzodifsn  10505  hashdifpr  10929  eff2  11862  tanvalap  11890  fzo0dvdseq  12039  oddprmgt2  12327  oddprmdvds  12548  4sqlem19  12603  setsslnid  12755  grpinvnzcl  13274  lssneln0  14006  rplogbval  15265  lgsfcl2  15331  lgsval2lem  15335  lgsval3  15343  lgsmod  15351  lgsdirprm  15359  lgsne0  15363  gausslemma2dlem0f  15379  lgsquad2lem2  15407  2lgsoddprm  15438