Theorem pinn 7424

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7419	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3299	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 3225	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 3189	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   \ cdif 3163   (/)c0 3460   {csn 3633   omcom 4639   N.cnpi 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-ni 7419

This theorem is referenced by:  pion  7425  piord  7426  elni2  7429  mulidpi  7433  ltsopi  7435  pitric  7436  pitri3or  7437  ltdcpi  7438  addclpi  7442  mulclpi  7443  addcompig  7444  addasspig  7445  mulcompig  7446  mulasspig  7447  distrpig  7448  addcanpig  7449  mulcanpig  7450  addnidpig  7451  ltexpi  7452  ltapig  7453  ltmpig  7454  nnppipi  7458  enqdc  7476  archnqq  7532  prarloclemarch2  7534  enq0enq  7546  enq0sym  7547  enq0ref  7548  enq0tr  7549  nqnq0pi  7553  nqnq0  7556  addcmpblnq0  7558  mulcmpblnq0  7559  mulcanenq0ec  7560  addclnq0  7566  nqpnq0nq  7568  nqnq0a  7569  nqnq0m  7570  nq0m0r  7571  nq0a0  7572  nnanq0  7573  distrnq0  7574  mulcomnq0  7575  addassnq0lemcl  7576  addassnq0  7577  nq02m  7580  prarloclemlt  7608  prarloclemn  7614