Theorem pinn 7376

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7371	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3289	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 3215	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 3179	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   \ cdif 3154   (/)c0 3450   {csn 3622   omcom 4626   N.cnpi 7339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-ni 7371

This theorem is referenced by:  pion  7377  piord  7378  elni2  7381  mulidpi  7385  ltsopi  7387  pitric  7388  pitri3or  7389  ltdcpi  7390  addclpi  7394  mulclpi  7395  addcompig  7396  addasspig  7397  mulcompig  7398  mulasspig  7399  distrpig  7400  addcanpig  7401  mulcanpig  7402  addnidpig  7403  ltexpi  7404  ltapig  7405  ltmpig  7406  nnppipi  7410  enqdc  7428  archnqq  7484  prarloclemarch2  7486  enq0enq  7498  enq0sym  7499  enq0ref  7500  enq0tr  7501  nqnq0pi  7505  nqnq0  7508  addcmpblnq0  7510  mulcmpblnq0  7511  mulcanenq0ec  7512  addclnq0  7518  nqpnq0nq  7520  nqnq0a  7521  nqnq0m  7522  nq0m0r  7523  nq0a0  7524  nnanq0  7525  distrnq0  7526  mulcomnq0  7527  addassnq0lemcl  7528  addassnq0  7529  nq02m  7532  prarloclemlt  7560  prarloclemn  7566