Theorem pinn 7676

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7671	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3355	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 3244	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3709   omcom 4737   N.cnpi 7639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-ni 7671

This theorem is used by:  pion  7677  piord  7678  elni2  7681  mulidpi  7685  ltsopi  7687  pitric  7688  pitri3or  7689  ltdcpi  7690  addclpi  7694  mulclpi  7695  addcompig  7696  addasspig  7697  mulcompig  7698  mulasspig  7699  distrpig  7700  addcanpig  7701  mulcanpig  7702  addnidpig  7703  ltexpi  7704  ltapig  7705  ltmpig  7706  nnppipi  7710  enqdc  7728  archnqq  7784  prarloclemarch2  7786  enq0enq  7798  enq0sym  7799  enq0ref  7800  enq0tr  7801  nqnq0pi  7805  nqnq0  7808  addcmpblnq0  7810  mulcmpblnq0  7811  mulcanenq0ec  7812  addclnq0  7818  nqpnq0nq  7820  nqnq0a  7821  nqnq0m  7822  nq0m0r  7823  nq0a0  7824  nnanq0  7825  distrnq0  7826  mulcomnq0  7827  addassnq0lemcl  7828  addassnq0  7829  nq02m  7832  prarloclemlt  7860  prarloclemn  7866