Theorem pinn 7457

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7452	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3307	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 3233	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 3197	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   \ cdif 3171   (/)c0 3468   {csn 3643   omcom 4656   N.cnpi 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-dif 3176  df-in 3180  df-ss 3187  df-ni 7452

This theorem is referenced by:  pion  7458  piord  7459  elni2  7462  mulidpi  7466  ltsopi  7468  pitric  7469  pitri3or  7470  ltdcpi  7471  addclpi  7475  mulclpi  7476  addcompig  7477  addasspig  7478  mulcompig  7479  mulasspig  7480  distrpig  7481  addcanpig  7482  mulcanpig  7483  addnidpig  7484  ltexpi  7485  ltapig  7486  ltmpig  7487  nnppipi  7491  enqdc  7509  archnqq  7565  prarloclemarch2  7567  enq0enq  7579  enq0sym  7580  enq0ref  7581  enq0tr  7582  nqnq0pi  7586  nqnq0  7589  addcmpblnq0  7591  mulcmpblnq0  7592  mulcanenq0ec  7593  addclnq0  7599  nqpnq0nq  7601  nqnq0a  7602  nqnq0m  7603  nq0m0r  7604  nq0a0  7605  nnanq0  7606  distrnq0  7607  mulcomnq0  7608  addassnq0lemcl  7609  addassnq0  7610  nq02m  7613  prarloclemlt  7641  prarloclemn  7647