Theorem pinn 7677

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7672	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3355	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 3244	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3709   omcom 4737   N.cnpi 7640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-ni 7672

This theorem is used by:  pion  7678  piord  7679  elni2  7682  mulidpi  7686  ltsopi  7688  pitric  7689  pitri3or  7690  ltdcpi  7691  addclpi  7695  mulclpi  7696  addcompig  7697  addasspig  7698  mulcompig  7699  mulasspig  7700  distrpig  7701  addcanpig  7702  mulcanpig  7703  addnidpig  7704  ltexpi  7705  ltapig  7706  ltmpig  7707  nnppipi  7711  enqdc  7729  archnqq  7785  prarloclemarch2  7787  enq0enq  7799  enq0sym  7800  enq0ref  7801  enq0tr  7802  nqnq0pi  7806  nqnq0  7809  addcmpblnq0  7811  mulcmpblnq0  7812  mulcanenq0ec  7813  addclnq0  7819  nqpnq0nq  7821  nqnq0a  7822  nqnq0m  7823  nq0m0r  7824  nq0a0  7825  nnanq0  7826  distrnq0  7827  mulcomnq0  7828  addassnq0lemcl  7829  addassnq0  7830  nq02m  7833  prarloclemlt  7861  prarloclemn  7867