Theorem pinn 7422

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7417	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3299	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 3225	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 3189	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   \ cdif 3163   (/)c0 3460   {csn 3633   omcom 4638   N.cnpi 7385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-ni 7417

This theorem is referenced by:  pion  7423  piord  7424  elni2  7427  mulidpi  7431  ltsopi  7433  pitric  7434  pitri3or  7435  ltdcpi  7436  addclpi  7440  mulclpi  7441  addcompig  7442  addasspig  7443  mulcompig  7444  mulasspig  7445  distrpig  7446  addcanpig  7447  mulcanpig  7448  addnidpig  7449  ltexpi  7450  ltapig  7451  ltmpig  7452  nnppipi  7456  enqdc  7474  archnqq  7530  prarloclemarch2  7532  enq0enq  7544  enq0sym  7545  enq0ref  7546  enq0tr  7547  nqnq0pi  7551  nqnq0  7554  addcmpblnq0  7556  mulcmpblnq0  7557  mulcanenq0ec  7558  addclnq0  7564  nqpnq0nq  7566  nqnq0a  7567  nqnq0m  7568  nq0m0r  7569  nq0a0  7570  nnanq0  7571  distrnq0  7572  mulcomnq0  7573  addassnq0lemcl  7574  addassnq0  7575  nq02m  7578  prarloclemlt  7606  prarloclemn  7612