ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0pi Unicode version

Theorem nqnq0pi 7214
Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0pi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  )

Proof of Theorem nqnq0pi
Dummy variables  v  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4539 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)
2 vex 2663 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
32elima2 4857 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~Q0 
" ( N.  X.  N. ) )  <->  E. x
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  x ~Q0  y ) )
4 elxp 4526 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  <->  E. z E. w
( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
) )
54anbi1i 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  <-> 
( E. z E. w ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y ) )
6 19.41vv 1859 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  <->  ( E. z E. w ( x  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. ) )  /\  x ~Q0  y ) )
75, 6bitr4i 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  <->  E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y ) )
8 simplr 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)
9 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( x ~Q0  y  <->  <. z ,  w >. ~Q0  y
) )
109adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x ~Q0  y  <->  <. z ,  w >. ~Q0  y ) )
1110biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  <. z ,  w >. ~Q0  y )
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  ( (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
) )
13 enq0er 7211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
1413a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  <. z ,  w >. ~Q0  y )
1614, 15ercl2 6410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  y  e.  ( om  X.  N. )
)
17 elxp 4526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( om  X.  N. )  <->  E. u E. v
( y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )
1816, 17sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  E. u E. v ( y  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )
19 19.42vv 1865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u E. v ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  <->  ( (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  /\  E. u E. v ( y  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  E. u E. v ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  /\  ( y  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
om  /\  v  e.  N. ) ) ) )
218, 11, 20syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  E. u E. v ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  /\  ( y  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
om  /\  v  e.  N. ) ) ) )
22 simprrl 513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  u  e.  om )
23 elni 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  N.  <->  ( z  e.  om  /\  z  =/=  (/) ) )
2423simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  N.  ->  z  =/=  (/) )
2524neneqd 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  -.  z  =  (/) )
2625ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  z  =  (/) )
27 elni 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  e.  N.  <->  ( v  e.  om  /\  v  =/=  (/) ) )
2827simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  N.  ->  v  =/=  (/) )
2928neneqd 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  N.  ->  -.  v  =  (/) )
3029ad2antll 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  v  =  (/) )
3126, 30jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( -.  z  =  (/)  /\  -.  v  =  (/) ) )
32 pm4.56 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  z  =  (/)  /\ 
-.  v  =  (/) ) 
<->  -.  ( z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) )
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  (
z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) )
34 pinn 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
3534ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  z  e.  om )
36 pinn 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
3736ad2antll 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  v  e.  om )
38 nnm00 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( ( z  .o  v )  =  (/)  <->  (
z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) ) )
3935, 37, 38syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  v )  =  (/)  <->  ( z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) ) )
4033, 39mtbird 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  (
z  .o  v )  =  (/) )
4140ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  ( z  .o  v
)  =  (/) )
42 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. u ,  v
>.  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0  y  <->  <. z ,  w >. ~Q0  <. u ,  v >. )
)
4342biimpac 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. z ,  w >. ~Q0  y  /\  y  =  <. u ,  v >. )  ->  <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.
)
4443ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.
)
45 enq0breq 7212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.  <->  ( z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) ) )
4634, 45sylanl1 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.  <->  ( z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) ) )
4746ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0  <. u ,  v >.  <->  ( z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) ) )
4844, 47mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) )
4948eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
( z  .o  v
)  =  (/)  <->  ( w  .o  u )  =  (/) ) )
5041, 49mtbid 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  ( w  .o  u
)  =  (/) )
51 pinn 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
52 nnm00 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  ( ( w  .o  u )  =  (/)  <->  (
w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5351, 52sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  om )  ->  ( ( w  .o  u )  =  (/)  <->  (
w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5453ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .o  u )  =  (/)  <->  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5554ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
( w  .o  u
)  =  (/)  <->  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5650, 55mtbid 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) )
57 pm4.56 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  w  =  (/)  /\ 
-.  u  =  (/) ) 
<->  -.  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) )
5856, 57sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  ( -.  w  =  (/)  /\  -.  u  =  (/) ) )
5958simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  u  =  (/) )
6059neneqad 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  u  =/=  (/) )
61 elni 7084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  <->  ( u  e.  om  /\  u  =/=  (/) ) )
6222, 60, 61sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  u  e.  N. )
63 simprrr 514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  v  e.  N. )
64 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. u ,  v
>.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
65 opelxp 4539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)
6664, 65syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. u ,  v
>.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
6766ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
y  e.  ( N. 
X.  N. )  <->  ( u  e.  N.  /\  v  e. 
N. ) ) )
6862, 63, 67mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
6968exlimivv 1852 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. v ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
7021, 69syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
7170exlimivv 1852 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
727, 71sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. )
)
7372exlimiv 1562 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
743, 73sylbi 120 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~Q0 
" ( N.  X.  N. ) )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
7574ssriv 3071 . . . 4  |-  ( ~Q0  " ( N.  X.  N. ) ) 
C_  ( N.  X.  N. )
76 ecinxp 6472 . . . 4  |-  ( ( ( ~Q0  " ( N.  X.  N. ) )  C_  ( N.  X.  N. )  /\  <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
7775, 76mpan 420 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
781, 77sylbir 134 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
79 enq0enq 7207 . . 3  |-  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
80 eceq2 6434 . . 3  |-  (  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . 2  |-  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
8278, 81syl6eqr 2168 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465    =/= wne 2285    i^i cin 3040    C_ wss 3041   (/)c0 3333   <.cop 3500   class class class wbr 3899   omcom 4474    X. cxp 4507   "cima 4512  (class class class)co 5742    .o comu 6279    Er wer 6394   [cec 6395   N.cnpi 7048    ~Q ceq 7055   ~Q0 ceq0 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-ni 7080  df-mi 7082  df-enq 7123  df-enq0 7200
This theorem is referenced by:  nqnq0  7217  nqpnq0nq  7229  nqnq0a  7230  nqnq0m  7231  prarloclemlo  7270  prarloclemcalc  7278
  Copyright terms: Public domain W3C validator