Theorem nqnq0pi 7439

Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4658	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) <-> ( A e. N. /\ B e. N. ) )
2		vex 2742	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	2	elima2 4978	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) )
4		elxp 4645	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( N. X. N. ) <-> E. z E. w ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) )
5	4	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) <-> ( E. z E. w ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) )
6		19.41vv 1903	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) <-> ( E. z E. w ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) <-> E. z E. w ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) )
8		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
9		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = <. z , w >. -> ( x ~Q0 y <-> <. z , w >. ~Q0 y ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x ~Q0 y <-> <. z , w >. ~Q0 y ) )
11	10	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> <. z , w >. ~Q0 y )
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) )
13		enq0er 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> <. z , w >. ~Q0 y )
16	14, 15	ercl2 6550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> y e. ( om X. N. ) )
17		elxp 4645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( om X. N. ) <-> E. u E. v ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) )
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> E. u E. v ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) )
19		19.42vv 1911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ E. u E. v ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) )
20	12, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) )
21	8, 11, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) )
22		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> u e. om )
23		elni 7309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. N. <-> ( z e. om /\ z =/= (/) ) )
24	23	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. N. -> z =/= (/) )
25	24	neneqd 2368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. N. -> -. z = (/) )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. z = (/) )
27		elni 7309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v e. N. <-> ( v e. om /\ v =/= (/) ) )
28	27	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v e. N. -> v =/= (/) )
29	28	neneqd 2368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. N. -> -. v = (/) )
30	29	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. v = (/) )
31	26, 30	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( -. z = (/) /\ -. v = (/) ) )
32		pm4.56 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. z = (/) /\ -. v = (/) ) <-> -. ( z = (/) \/ v = (/) ) )
33	31, 32	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. ( z = (/) \/ v = (/) ) )
34		pinn 7310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. N. -> z e. om )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> z e. om )
36		pinn 7310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. N. -> v e. om )
37	36	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> v e. om )
38		nnm00 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. om /\ v e. om ) -> ( ( z .o v ) = (/) <-> ( z = (/) \/ v = (/) ) ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .o v ) = (/) <-> ( z = (/) \/ v = (/) ) ) )
40	33, 39	mtbird 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. ( z .o v ) = (/) )
41	40	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. ( z .o v ) = (/) )
42		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = <. u , v >. -> ( <. z , w >. ~Q0 y <-> <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. ) )
43	42	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( <. z , w >. ~Q0 y /\ y = <. u , v >. ) -> <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. )
44	43	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. )
45		enq0breq 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. <-> ( z .o v ) = ( w .o u ) ) )
46	34, 45	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. <-> ( z .o v ) = ( w .o u ) ) )
47	46	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. <-> ( z .o v ) = ( w .o u ) ) )
48	44, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( z .o v ) = ( w .o u ) )
49	48	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( ( z .o v ) = (/) <-> ( w .o u ) = (/) ) )
50	41, 49	mtbid 672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. ( w .o u ) = (/) )
51		pinn 7310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. N. -> w e. om )
52		nnm00 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. om /\ u e. om ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
53	51, 52	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. N. /\ u e. om ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
54	53	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
55	54	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
56	50, 55	mtbid 672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. ( w = (/) \/ u = (/) ) )
57		pm4.56 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. w = (/) /\ -. u = (/) ) <-> -. ( w = (/) \/ u = (/) ) )
58	56, 57	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( -. w = (/) /\ -. u = (/) ) )
59	58	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. u = (/) )
60	59	neneqad 2426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> u =/= (/) )
61		elni 7309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. <-> ( u e. om /\ u =/= (/) ) )
62	22, 60, 61	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> u e. N. )
63		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> v e. N. )
64		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = <. u , v >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( N. X. N. ) ) )
65		opelxp 4658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. u , v >. e. ( N. X. N. ) <-> ( u e. N. /\ v e. N. ) )
66	64, 65	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = <. u , v >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
67	66	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
68	62, 63, 67	mpbir2and 944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> y e. ( N. X. N. ) )
69	68	exlimivv 1896	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> y e. ( N. X. N. ) )
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
71	70	exlimivv 1896	. . . . . . . 8 |- ( E. z E. w ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
72	7, 71	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
73	72	exlimiv 1598	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
74	3, 73	sylbi 121	. . . . 5 |- ( y e. ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) -> y e. ( N. X. N. ) )
75	74	ssriv 3161	. . . 4 |- ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) C_ ( N. X. N. )
76		ecinxp 6612	. . . 4 |- ( ( ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) C_ ( N. X. N. ) /\ <. A , B >. e. ( N. X. N. ) ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
77	75, 76	mpan 424	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
78	1, 77	sylbir 135	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
79		enq0enq 7432	. . 3 |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
80		eceq2 6574	. . 3 |- ( ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) -> [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. 2 |- [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
82	78, 81	eqtr4di 2228	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   i^i cin 3130   C_ wss 3131   (/)c0 3424   <.cop 3597   class class class wbr 4005   omcom 4591   X. cxp 4626   "cima 4631  (class class class)co 5877   .o comu 6417   Er wer 6534   [cec 6535   N.cnpi 7273   ~Q ceq 7280   ~_Q0 ceq0 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-ni 7305  df-mi 7307  df-enq 7348  df-enq0 7425

This theorem is referenced by:  nqnq0  7442  nqpnq0nq  7454  nqnq0a  7455  nqnq0m  7456  prarloclemlo  7495  prarloclemcalc  7503