Theorem nqnq0pi 7400

Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4641	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) <-> ( A e. N. /\ B e. N. ) )
2		vex 2733	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	2	elima2 4959	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) )
4		elxp 4628	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( N. X. N. ) <-> E. z E. w ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) )
5	4	anbi1i 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) <-> ( E. z E. w ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) )
6		19.41vv 1896	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) <-> ( E. z E. w ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) <-> E. z E. w ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) )
8		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
9		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = <. z , w >. -> ( x ~Q0 y <-> <. z , w >. ~Q0 y ) )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x ~Q0 y <-> <. z , w >. ~Q0 y ) )
11	10	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> <. z , w >. ~Q0 y )
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) )
13		enq0er 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> <. z , w >. ~Q0 y )
16	14, 15	ercl2 6526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> y e. ( om X. N. ) )
17		elxp 4628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( om X. N. ) <-> E. u E. v ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) )
18	16, 17	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> E. u E. v ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) )
19		19.42vv 1904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ E. u E. v ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) )
20	12, 18, 19	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) -> E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) )
21	8, 11, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) )
22		simprrl 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> u e. om )
23		elni 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. N. <-> ( z e. om /\ z =/= (/) ) )
24	23	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. N. -> z =/= (/) )
25	24	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. N. -> -. z = (/) )
26	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. z = (/) )
27		elni 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v e. N. <-> ( v e. om /\ v =/= (/) ) )
28	27	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v e. N. -> v =/= (/) )
29	28	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. N. -> -. v = (/) )
30	29	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. v = (/) )
31	26, 30	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( -. z = (/) /\ -. v = (/) ) )
32		pm4.56 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. z = (/) /\ -. v = (/) ) <-> -. ( z = (/) \/ v = (/) ) )
33	31, 32	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. ( z = (/) \/ v = (/) ) )
34		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. N. -> z e. om )
35	34	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> z e. om )
36		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. N. -> v e. om )
37	36	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> v e. om )
38		nnm00 6509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. om /\ v e. om ) -> ( ( z .o v ) = (/) <-> ( z = (/) \/ v = (/) ) ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .o v ) = (/) <-> ( z = (/) \/ v = (/) ) ) )
40	33, 39	mtbird 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> -. ( z .o v ) = (/) )
41	40	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. ( z .o v ) = (/) )
42		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = <. u , v >. -> ( <. z , w >. ~Q0 y <-> <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. ) )
43	42	biimpac 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( <. z , w >. ~Q0 y /\ y = <. u , v >. ) -> <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. )
44	43	ad2ant2lr 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. )
45		enq0breq 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. <-> ( z .o v ) = ( w .o u ) ) )
46	34, 45	sylanl1 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. <-> ( z .o v ) = ( w .o u ) ) )
47	46	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( <. z , w >. ~Q0 <. u , v >. <-> ( z .o v ) = ( w .o u ) ) )
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( z .o v ) = ( w .o u ) )
49	48	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( ( z .o v ) = (/) <-> ( w .o u ) = (/) ) )
50	41, 49	mtbid 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. ( w .o u ) = (/) )
51		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. N. -> w e. om )
52		nnm00 6509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. om /\ u e. om ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
53	51, 52	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. N. /\ u e. om ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
54	53	ad2ant2lr 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
55	54	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( ( w .o u ) = (/) <-> ( w = (/) \/ u = (/) ) ) )
56	50, 55	mtbid 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. ( w = (/) \/ u = (/) ) )
57		pm4.56 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. w = (/) /\ -. u = (/) ) <-> -. ( w = (/) \/ u = (/) ) )
58	56, 57	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( -. w = (/) /\ -. u = (/) ) )
59	58	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> -. u = (/) )
60	59	neneqad 2419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> u =/= (/) )
61		elni 7270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. <-> ( u e. om /\ u =/= (/) ) )
62	22, 60, 61	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> u e. N. )
63		simprrr 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> v e. N. )
64		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = <. u , v >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( N. X. N. ) ) )
65		opelxp 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. u , v >. e. ( N. X. N. ) <-> ( u e. N. /\ v e. N. ) )
66	64, 65	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = <. u , v >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
67	66	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
68	62, 63, 67	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> y e. ( N. X. N. ) )
69	68	exlimivv 1889	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. v ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ <. z , w >. ~Q0 y ) /\ ( y = <. u , v >. /\ ( u e. om /\ v e. N. ) ) ) -> y e. ( N. X. N. ) )
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
71	70	exlimivv 1889	. . . . . . . 8 |- ( E. z E. w ( ( x = <. z , w >. /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
72	7, 71	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
73	72	exlimiv 1591	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ x ~Q0 y ) -> y e. ( N. X. N. ) )
74	3, 73	sylbi 120	. . . . 5 |- ( y e. ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) -> y e. ( N. X. N. ) )
75	74	ssriv 3151	. . . 4 |- ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) C_ ( N. X. N. )
76		ecinxp 6588	. . . 4 |- ( ( ( ~Q0 " ( N. X. N. ) ) C_ ( N. X. N. ) /\ <. A , B >. e. ( N. X. N. ) ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
77	75, 76	mpan 422	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
78	1, 77	sylbir 134	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
79		enq0enq 7393	. . 3 |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
80		eceq2 6550	. . 3 |- ( ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) -> [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. 2 |- [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
82	78, 81	eqtr4di 2221	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   =/= wne 2340   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989   omcom 4574   X. cxp 4609   "cima 4614  (class class class)co 5853   .o comu 6393   Er wer 6510   [cec 6511   N.cnpi 7234   ~Q ceq 7241   ~_Q0 ceq0 7248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq 7309  df-enq0 7386

This theorem is referenced by:  nqnq0  7403  nqpnq0nq  7415  nqnq0a  7416  nqnq0m  7417  prarloclemlo  7456  prarloclemcalc  7464