Theorem nlt1pig 7263

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	|- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 7230	. . 3 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 273	. 2 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3399	. . . . 5 |- -. A e. (/)
4		1pi 7237	. . . . . . . . 9 |- 1o e. N.
5		ltpiord 7241	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 6365	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2224	. . . . . . . . 9 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 4366	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 714	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 114	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2369	. 2 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 13	1 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   (/)c0 3395   class class class wbr 3967   suc csuc 4327   omcom 4551   1oc1o 6358   N.cnpi 7194   <N clti 7197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-eprel 4251  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-1o 6365  df-ni 7226  df-lti 7229

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7724