Theorem nlt1pig 7282

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	|- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 7249	. . 3 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 273	. 2 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3413	. . . . 5 |- -. A e. (/)
4		1pi 7256	. . . . . . . . 9 |- 1o e. N.
5		ltpiord 7260	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 6384	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2233	. . . . . . . . 9 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 4382	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 714	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 114	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2378	. 2 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 13	1 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   suc csuc 4343   omcom 4567   1oc1o 6377   N.cnpi 7213   <N clti 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-eprel 4267  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-1o 6384  df-ni 7245  df-lti 7248

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7743