Theorem nlt1pig 7672

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	|- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 7639	. . 3 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 275	. 2 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3516	. . . . 5 |- -. A e. (/)
4		1pi 7646	. . . . . . . . 9 |- 1o e. N.
5		ltpiord 7650	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 6660	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2301	. . . . . . . . 9 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 4530	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 732	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 115	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2456	. 2 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 13	1 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   (/)c0 3512   class class class wbr 4114   suc csuc 4491   omcom 4717   1oc1o 6653   N.cnpi 7603   <N clti 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-eprel 4415  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-1o 6660  df-ni 7635  df-lti 7638

This theorem is referenced by:  caucvgsr  8133