Theorem nlt1pig 7173

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	|- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 7140	. . 3 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 273	. 2 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3372	. . . . 5 |- -. A e. (/)
4		1pi 7147	. . . . . . . . 9 |- 1o e. N.
5		ltpiord 7151	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 6321	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2207	. . . . . . . . 9 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 4334	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 714	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 114	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2351	. 2 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 13	1 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   (/)c0 3368   class class class wbr 3937   suc csuc 4295   omcom 4512   1oc1o 6314   N.cnpi 7104   <N clti 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-eprel 4219  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-1o 6321  df-ni 7136  df-lti 7139

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7634