ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig Unicode version

Theorem nlt1pig 7342
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  A  <N  1o )

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 7309 . . 3  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
21simprbi 275 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  A  =/=  (/) )
3 noel 3428 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
4 1pi 7316 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  N.
5 ltpiord 7320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( A  <N  1o  <->  A  e.  1o ) )
64, 5mpan2 425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  A  e.  1o ) )
7 df-1o 6419 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  suc  (/)
87eleq2i 2244 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  1o  <->  A  e.  suc  (/) )
9 elsucg 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  suc  (/)  <->  ( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) ) )
108, 9bitrid 192 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  1o  <->  ( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) ) )
116, 10bitrd 188 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  ( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) ) )
1211biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  A  <N  1o )  -> 
( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) )
1312ord 724 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  A  <N  1o )  -> 
( -.  A  e.  (/)  ->  A  =  (/) ) )
143, 13mpi 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  A  <N  1o )  ->  A  =  (/) )
1514ex 115 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  ->  A  =  (/) ) )
1615necon3ad 2389 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A  <N  1o ) )
172, 16mpd 13 1  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  A  <N  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   suc csuc 4367   omcom 4591   1oc1o 6412   N.cnpi 7273    <N clti 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-eprel 4291  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-1o 6419  df-ni 7305  df-lti 7308
This theorem is referenced by:  caucvgsr  7803
  Copyright terms: Public domain W3C validator