ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig Unicode version

Theorem nlt1pig 7263
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  A  <N  1o )

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 7230 . . 3  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) ) )
21simprbi 273 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  A  =/=  (/) )
3 noel 3399 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
4 1pi 7237 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  N.
5 ltpiord 7241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( A  <N  1o  <->  A  e.  1o ) )
64, 5mpan2 422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  A  e.  1o ) )
7 df-1o 6365 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  suc  (/)
87eleq2i 2224 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  1o  <->  A  e.  suc  (/) )
9 elsucg 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  suc  (/)  <->  ( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) ) )
108, 9syl5bb 191 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  1o  <->  ( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) ) )
116, 10bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  ( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) ) )
1211biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  A  <N  1o )  -> 
( A  e.  (/)  \/  A  =  (/) ) )
1312ord 714 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  A  <N  1o )  -> 
( -.  A  e.  (/)  ->  A  =  (/) ) )
143, 13mpi 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  A  <N  1o )  ->  A  =  (/) )
1514ex 114 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  ->  A  =  (/) ) )
1615necon3ad 2369 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A  <N  1o ) )
172, 16mpd 13 1  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  A  <N  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   (/)c0 3395   class class class wbr 3967   suc csuc 4327   omcom 4551   1oc1o 6358   N.cnpi 7194    <N clti 7197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-eprel 4251  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-1o 6365  df-ni 7226  df-lti 7229
This theorem is referenced by:  caucvgsr  7724
  Copyright terms: Public domain W3C validator