Theorem nlt1pig 7303

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	|- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 7270	. . 3 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
2	1	simprbi 273	. 2 |- ( A e. N. -> A =/= (/) )
3		noel 3418	. . . . 5 |- -. A e. (/)
4		1pi 7277	. . . . . . . . 9 |- 1o e. N.
5		ltpiord 7281	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
6	4, 5	mpan2 423	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> A e. 1o ) )
7		df-1o 6395	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
8	7	eleq2i 2237	. . . . . . . . 9 |- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) )
9		elsucg 4389	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
11	6, 10	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) )
12	11	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) ) )
13	12	ord 719	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> ( -. A e. (/) -> A = (/) ) )
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ A <N 1o ) -> A = (/) )
15	14	ex 114	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o -> A = (/) ) )
16	15	necon3ad 2382	. 2 |- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A <N 1o ) )
17	2, 16	mpd 13	1 |- ( A e. N. -> -. A <N 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   suc csuc 4350   omcom 4574   1oc1o 6388   N.cnpi 7234   <N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-eprel 4274  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-1o 6395  df-ni 7266  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7764