Theorem eusv2i 4490

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression A ( x ). (Contributed by NM, 14-Oct-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eusv2i	|- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem eusv2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfeu1 2056	. . 3 |- F/ y E! y A. x y = A
2		nfcvd 2340	. . . . . 6 |- ( E! y A. x y = A -> F/_ x y )
3		eusvnf 4488	. . . . . 6 |- ( E! y A. x y = A -> F/_ x A )
4	2, 3	nfeqd 2354	. . . . 5 |- ( E! y A. x y = A -> F/ x y = A )
5		nf2 1682	. . . . 5 |- ( F/ x y = A <-> ( E. x y = A -> A. x y = A ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( E! y A. x y = A -> ( E. x y = A -> A. x y = A ) )
7		19.2 1652	. . . 4 |- ( A. x y = A -> E. x y = A )
8	6, 7	impbid1 142	. . 3 |- ( E! y A. x y = A -> ( E. x y = A <-> A. x y = A ) )
9	1, 8	eubid 2052	. 2 |- ( E! y A. x y = A -> ( E! y E. x y = A <-> E! y A. x y = A ) )
10	9	ibir 177	1 |- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   = wceq 1364   F/wnf 1474   E.wex 1506   E!weu 2045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085

This theorem is referenced by:  eusv2nf  4491