Theorem eusv2nf 4503

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusv2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusv2nf	|- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem eusv2nf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfeu1 2065	. . . 4 |- F/ y E! y E. x y = A
2		nfe1 1519	. . . . . . 7 |- F/ x E. x y = A
3	2	nfeu 2073	. . . . . 6 |- F/ x E! y E. x y = A
4		eusv2.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
5	4	isseti 2780	. . . . . . . 8 |- E. y y = A
6		19.8a 1613	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> E. x y = A )
7	6	ancri 324	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( E. x y = A /\ y = A ) )
8	5, 7	eximii 1625	. . . . . . 7 |- E. y ( E. x y = A /\ y = A )
9		eupick 2133	. . . . . . 7 |- ( ( E! y E. x y = A /\ E. y ( E. x y = A /\ y = A ) ) -> ( E. x y = A -> y = A ) )
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( E! y E. x y = A -> ( E. x y = A -> y = A ) )
11	3, 10	alrimi 1545	. . . . 5 |- ( E! y E. x y = A -> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
12		nf3 1692	. . . . 5 |- ( F/ x y = A <-> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . 4 |- ( E! y E. x y = A -> F/ x y = A )
14	1, 13	alrimi 1545	. . 3 |- ( E! y E. x y = A -> A. y F/ x y = A )
15		dfnfc2 3868	. . . 4 |- ( A. x A e. _V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )
16	15, 4	mpg 1474	. . 3 |- ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A )
17	14, 16	sylibr 134	. 2 |- ( E! y E. x y = A -> F/_ x A )
18		eusvnfb 4501	. . . 4 |- ( E! y A. x y = A <-> ( F/_ x A /\ A e. _V ) )
19	4, 18	mpbiran2 944	. . 3 |- ( E! y A. x y = A <-> F/_ x A )
20		eusv2i 4502	. . 3 |- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )
21	19, 20	sylbir 135	. 2 |- ( F/_ x A -> E! y E. x y = A )
22	17, 21	impbii 126	1 |- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   F/wnf 1483   E.wex 1515   E!weu 2054   e. wcel 2176   F/_wnfc 2335   _Vcvv 2772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851

This theorem is referenced by:  eusv2  4504