Theorem eusv2nf 4385

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusv2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusv2nf	|- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem eusv2nf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfeu1 2011	. . . 4 |- F/ y E! y E. x y = A
2		nfe1 1473	. . . . . . 7 |- F/ x E. x y = A
3	2	nfeu 2019	. . . . . 6 |- F/ x E! y E. x y = A
4		eusv2.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
5	4	isseti 2697	. . . . . . . 8 |- E. y y = A
6		19.8a 1570	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> E. x y = A )
7	6	ancri 322	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( E. x y = A /\ y = A ) )
8	5, 7	eximii 1582	. . . . . . 7 |- E. y ( E. x y = A /\ y = A )
9		eupick 2079	. . . . . . 7 |- ( ( E! y E. x y = A /\ E. y ( E. x y = A /\ y = A ) ) -> ( E. x y = A -> y = A ) )
10	8, 9	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( E! y E. x y = A -> ( E. x y = A -> y = A ) )
11	3, 10	alrimi 1503	. . . . 5 |- ( E! y E. x y = A -> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
12		nf3 1648	. . . . 5 |- ( F/ x y = A <-> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
13	11, 12	sylibr 133	. . . 4 |- ( E! y E. x y = A -> F/ x y = A )
14	1, 13	alrimi 1503	. . 3 |- ( E! y E. x y = A -> A. y F/ x y = A )
15		dfnfc2 3762	. . . 4 |- ( A. x A e. _V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )
16	15, 4	mpg 1428	. . 3 |- ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A )
17	14, 16	sylibr 133	. 2 |- ( E! y E. x y = A -> F/_ x A )
18		eusvnfb 4383	. . . 4 |- ( E! y A. x y = A <-> ( F/_ x A /\ A e. _V ) )
19	4, 18	mpbiran2 926	. . 3 |- ( E! y A. x y = A <-> F/_ x A )
20		eusv2i 4384	. . 3 |- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )
21	19, 20	sylbir 134	. 2 |- ( F/_ x A -> E! y E. x y = A )
22	17, 21	impbii 125	1 |- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   F/wnf 1437   E.wex 1469   e. wcel 1481   E!weu 2000   F/_wnfc 2269   _Vcvv 2689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  eusv2  4386