ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eusv2nf Unicode version

Theorem eusv2nf 4250
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
eusv2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eusv2nf  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem eusv2nf
StepHypRef Expression
1 nfeu1 1956 . . . 4  |-  F/ y E! y E. x  y  =  A
2 nfe1 1428 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  y  =  A
32nfeu 1964 . . . . . 6  |-  F/ x E! y E. x  y  =  A
4 eusv2.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
54isseti 2621 . . . . . . . 8  |-  E. y 
y  =  A
6 19.8a 1525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  E. x  y  =  A )
76ancri 317 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A ) )
85, 7eximii 1536 . . . . . . 7  |-  E. y
( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
9 eupick 2024 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y E. x  y  =  A  /\  E. y ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
)  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
108, 9mpan2 416 . . . . . 6  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
113, 10alrimi 1458 . . . . 5  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. x
( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
12 nf3 1602 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  A  <->  A. x ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
1311, 12sylibr 132 . . . 4  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/ x  y  =  A
)
141, 13alrimi 1458 . . 3  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. y F/ x  y  =  A )
15 dfnfc2 3653 . . . 4  |-  ( A. x  A  e.  _V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
1615, 4mpg 1383 . . 3  |-  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A )
1714, 16sylibr 132 . 2  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/_ x A )
18 eusvnfb 4248 . . . 4  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  ( F/_ x A  /\  A  e. 
_V ) )
194, 18mpbiran2 885 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
20 eusv2i 4249 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2119, 20sylbir 133 . 2  |-  ( F/_ x A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2217, 21impbii 124 1  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285    = wceq 1287   F/wnf 1392   E.wex 1424    e. wcel 1436   E!weu 1945   F/_wnfc 2212   _Vcvv 2615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-un 2992  df-sn 3436  df-pr 3437  df-uni 3636
This theorem is referenced by:  eusv2  4251
  Copyright terms: Public domain W3C validator