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Theorem eusv2nf 4372
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
eusv2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eusv2nf  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem eusv2nf
StepHypRef Expression
1 nfeu1 2008 . . . 4  |-  F/ y E! y E. x  y  =  A
2 nfe1 1472 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  y  =  A
32nfeu 2016 . . . . . 6  |-  F/ x E! y E. x  y  =  A
4 eusv2.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
54isseti 2689 . . . . . . . 8  |-  E. y 
y  =  A
6 19.8a 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  E. x  y  =  A )
76ancri 322 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A ) )
85, 7eximii 1581 . . . . . . 7  |-  E. y
( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
9 eupick 2076 . . . . . . 7  |-  ( ( E! y E. x  y  =  A  /\  E. y ( E. x  y  =  A  /\  y  =  A )
)  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
108, 9mpan2 421 . . . . . 6  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
113, 10alrimi 1502 . . . . 5  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. x
( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
12 nf3 1647 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  =  A  <->  A. x ( E. x  y  =  A  ->  y  =  A ) )
1311, 12sylibr 133 . . . 4  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/ x  y  =  A
)
141, 13alrimi 1502 . . 3  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  A. y F/ x  y  =  A )
15 dfnfc2 3749 . . . 4  |-  ( A. x  A  e.  _V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
1615, 4mpg 1427 . . 3  |-  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A )
1714, 16sylibr 133 . 2  |-  ( E! y E. x  y  =  A  ->  F/_ x A )
18 eusvnfb 4370 . . . 4  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  ( F/_ x A  /\  A  e. 
_V ) )
194, 18mpbiran2 925 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
20 eusv2i 4371 . . 3  |-  ( E! y A. x  y  =  A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2119, 20sylbir 134 . 2  |-  ( F/_ x A  ->  E! y E. x  y  =  A )
2217, 21impbii 125 1  |-  ( E! y E. x  y  =  A  <->  F/_ x A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    = wceq 1331   F/wnf 1436   E.wex 1468    e. wcel 1480   E!weu 1997   F/_wnfc 2266   _Vcvv 2681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732
This theorem is referenced by:  eusv2  4373
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