Theorem eusv2nf 4597

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusv2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusv2nf	|- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem eusv2nf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfeu1 2097	. . . 4 |- F/ y E! y E. x y = A
2		nfe1 1549	. . . . . . 7 |- F/ x E. x y = A
3	2	nfeu 2105	. . . . . 6 |- F/ x E! y E. x y = A
4		eusv2.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
5	4	isseti 2830	. . . . . . . 8 |- E. y y = A
6		19.8a 1643	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> E. x y = A )
7	6	ancri 324	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( E. x y = A /\ y = A ) )
8	5, 7	eximii 1655	. . . . . . 7 |- E. y ( E. x y = A /\ y = A )
9		eupick 2166	. . . . . . 7 |- ( ( E! y E. x y = A /\ E. y ( E. x y = A /\ y = A ) ) -> ( E. x y = A -> y = A ) )
10	8, 9	mpan2 429	. . . . . 6 |- ( E! y E. x y = A -> ( E. x y = A -> y = A ) )
11	3, 10	alrimi 1575	. . . . 5 |- ( E! y E. x y = A -> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
12		nf3 1721	. . . . 5 |- ( F/ x y = A <-> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . 4 |- ( E! y E. x y = A -> F/ x y = A )
14	1, 13	alrimi 1575	. . 3 |- ( E! y E. x y = A -> A. y F/ x y = A )
15		dfnfc2 3948	. . . 4 |- ( A. x A e. _V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )
16	15, 4	mpg 1504	. . 3 |- ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A )
17	14, 16	sylibr 134	. 2 |- ( E! y E. x y = A -> F/_ x A )
18		eusvnfb 4595	. . . 4 |- ( E! y A. x y = A <-> ( F/_ x A /\ A e. _V ) )
19	4, 18	mpbiran2 954	. . 3 |- ( E! y A. x y = A <-> F/_ x A )
20		eusv2i 4596	. . 3 |- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )
21	19, 20	sylbir 135	. 2 |- ( F/_ x A -> E! y E. x y = A )
22	17, 21	impbii 126	1 |- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   F/wnf 1513   E.wex 1545   E!weu 2086   e. wcel 2209   F/_wnfc 2379   _Vcvv 2821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931

This theorem is referenced by:  eusv2  4598