Theorem exmidontriimlem2 7199

Description: Lemma for exmidontriim 7202. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem2.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem2.hb	|- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	|- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   ph, y

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
2	1	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> B e. On )
3		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. y )
4		simplr 525	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> y e. B )
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> ( A e. y /\ y e. B ) )
6		ontr1 4374	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( ( A e. y /\ y e. B ) -> A e. B ) )
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. B )
8	7	r19.29an 2612	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> A e. B )
9	8	orcd 728	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
10		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A = y )
11		simplr 525	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> y e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A e. B )
13	12	r19.29an 2612	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> A e. B )
14	13	orcd 728	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
15		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> A. y e. B y e. A )
16	15	olcd 729	. 2 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 |- ( ph -> EXMID )
19		exmidontriimlem1 7198	. . 3 |- ( ( A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) /\ EXMID ) -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1302	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   \/ w3o 972   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449  EXMIDwem 4180   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-iord 4351  df-on 4353

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7200