Theorem exmidontriimlem2 7151

Description: Lemma for exmidontriim 7154. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem2.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem2.hb	|- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	|- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   ph, y

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
2	1	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> B e. On )
3		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. y )
4		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> y e. B )
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> ( A e. y /\ y e. B ) )
6		ontr1 4349	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( ( A e. y /\ y e. B ) -> A e. B ) )
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. B )
8	7	r19.29an 2599	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> A e. B )
9	8	orcd 723	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
10		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A = y )
11		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> y e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2234	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A e. B )
13	12	r19.29an 2599	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> A e. B )
14	13	orcd 723	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
15		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> A. y e. B y e. A )
16	15	olcd 724	. 2 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 |- ( ph -> EXMID )
19		exmidontriimlem1 7150	. . 3 |- ( ( A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) /\ EXMID ) -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1289	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   \/ w3o 962   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436  EXMIDwem 4155   Oncon0 4323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-uni 3773  df-tr 4063  df-exmid 4156  df-iord 4326  df-on 4328

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7152