Theorem exmidontriimlem2 7178

Description: Lemma for exmidontriim 7181. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem2.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem2.hb	|- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	|- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   ph, y

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
2	1	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> B e. On )
3		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. y )
4		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> y e. B )
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> ( A e. y /\ y e. B ) )
6		ontr1 4367	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( ( A e. y /\ y e. B ) -> A e. B ) )
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. B )
8	7	r19.29an 2608	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> A e. B )
9	8	orcd 723	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
10		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A = y )
11		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> y e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A e. B )
13	12	r19.29an 2608	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> A e. B )
14	13	orcd 723	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
15		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> A. y e. B y e. A )
16	15	olcd 724	. 2 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 |- ( ph -> EXMID )
19		exmidontriimlem1 7177	. . 3 |- ( ( A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) /\ EXMID ) -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1297	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445  EXMIDwem 4173   Oncon0 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-iord 4344  df-on 4346

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7179