Theorem exmidontriimlem2 7436

Description: Lemma for exmidontriim 7439. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem2.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem2.hb	|- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	|- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   ph, y

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> B e. On )
3		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. y )
4		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> y e. B )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> ( A e. y /\ y e. B ) )
6		ontr1 4486	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( ( A e. y /\ y e. B ) -> A e. B ) )
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. B )
8	7	r19.29an 2675	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> A e. B )
9	8	orcd 740	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A = y )
11		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> y e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A e. B )
13	12	r19.29an 2675	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> A e. B )
14	13	orcd 740	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
15		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> A. y e. B y e. A )
16	15	olcd 741	. 2 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 |- ( ph -> EXMID )
19		exmidontriimlem1 7435	. . 3 |- ( ( A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) /\ EXMID ) -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1343	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511  EXMIDwem 4284   Oncon0 4460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-uni 3894  df-tr 4188  df-exmid 4285  df-iord 4463  df-on 4465

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7437