Theorem exmidontriimlem2 7224

Description: Lemma for exmidontriim 7227. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem2.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem2.hb	|- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	|- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   ph, y

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. On )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> B e. On )
3		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. y )
4		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> y e. B )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> ( A e. y /\ y e. B ) )
6		ontr1 4391	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( ( A e. y /\ y e. B ) -> A e. B ) )
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A e. y ) -> A e. B )
8	7	r19.29an 2619	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> A e. B )
9	8	orcd 733	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A e. y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A = y )
11		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> y e. B )
12	10, 11	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ A = y ) -> A e. B )
13	12	r19.29an 2619	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> A e. B )
14	13	orcd 733	. 2 |- ( ( ph /\ E. y e. B A = y ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
15		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> A. y e. B y e. A )
16	15	olcd 734	. 2 |- ( ( ph /\ A. y e. B y e. A ) -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 |- ( ph -> EXMID )
19		exmidontriimlem1 7223	. . 3 |- ( ( A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) /\ EXMID ) -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B A e. y \/ E. y e. B A = y \/ A. y e. B y e. A ) )
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1307	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A. y e. B y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456  EXMIDwem 4196   Oncon0 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-uni 3812  df-tr 4104  df-exmid 4197  df-iord 4368  df-on 4370

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7225