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Theorem exmidontriimlem2 7158
Description: Lemma for exmidontriim 7161. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
exmidontriimlem2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
exmidontriimlem2.em  |-  ( ph  -> EXMID )
exmidontriimlem2.hb  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( A  e.  y  \/  A  =  y  \/  y  e.  A
) )
Assertion
Ref Expression
exmidontriimlem2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  \/  A. y  e.  B  y  e.  A )
)
Distinct variable groups:    y, A    y, B    ph, y

Proof of Theorem exmidontriimlem2
StepHypRef Expression
1 exmidontriimlem2.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
21ad2antrr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  y )  ->  B  e.  On )
3 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  y )  ->  A  e.  y )
4 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  B )
53, 4jca 304 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  y )  ->  ( A  e.  y  /\  y  e.  B )
)
6 ontr1 4350 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  A  e.  B ) )
72, 5, 6sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  y )  ->  A  e.  B )
87r19.29an 2599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  B  A  e.  y )  ->  A  e.  B )
98orcd 723 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  B  A  e.  y )  ->  ( A  e.  B  \/  A. y  e.  B  y  e.  A ) )
10 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  =  y )  ->  A  =  y )
11 simplr 520 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  =  y )  -> 
y  e.  B )
1210, 11eqeltrd 2234 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  A  =  y )  ->  A  e.  B )
1312r19.29an 2599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  B  A  =  y )  ->  A  e.  B )
1413orcd 723 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  B  A  =  y )  ->  ( A  e.  B  \/  A. y  e.  B  y  e.  A ) )
15 simpr 109 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  B  y  e.  A )  ->  A. y  e.  B  y  e.  A )
1615olcd 724 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  B  y  e.  A )  ->  ( A  e.  B  \/  A. y  e.  B  y  e.  A ) )
17 exmidontriimlem2.hb . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( A  e.  y  \/  A  =  y  \/  y  e.  A
) )
18 exmidontriimlem2.em . . 3  |-  ( ph  -> EXMID )
19 exmidontriimlem1 7157 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  B  ( A  e.  y  \/  A  =  y  \/  y  e.  A
)  /\ EXMID )  ->  ( E. y  e.  B  A  e.  y  \/  E. y  e.  B  A  =  y  \/  A. y  e.  B  y  e.  A ) )
2017, 18, 19syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  B  A  e.  y  \/  E. y  e.  B  A  =  y  \/  A. y  e.  B  y  e.  A
) )
219, 14, 16, 20mpjao3dan 1289 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  \/  A. y  e.  B  y  e.  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    \/ w3o 962    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436  EXMIDwem 4156   Oncon0 4324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-uni 3774  df-tr 4064  df-exmid 4157  df-iord 4327  df-on 4329
This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7159
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