Theorem exmidontriimlem3 7569

Description: Lemma for exmidontriim 7571. What we get to do based on induction on both A and B. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem3.a	|- ( ph -> A e. On )
exmidontriimlem3.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem3.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem3.ha	|- ( ph -> A. z e. A A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
exmidontriimlem3.hb	|- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem3	|- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( z)

Proof of Theorem exmidontriimlem3

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1197	. . 3 |- ( A e. B -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ A e. B ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		3mix3 1199	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ B e. A ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ A. u e. A u e. B ) -> A. u e. A u e. B )
6		dfss3 3236	. . . . . 6 |- ( A C_ B <-> A. u e. A u e. B )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ A. u e. A u e. B ) -> A C_ B )
8		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ A. u e. A u e. B ) -> A. w e. B w e. A )
9		dfss3 3236	. . . . . 6 |- ( B C_ A <-> A. w e. B w e. A )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ A. u e. A u e. B ) -> B C_ A )
11	7, 10	eqssd 3265	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ A. u e. A u e. B ) -> A = B )
12	11	3mix2d 1204	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) /\ A. u e. A u e. B ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
13		exmidontriimlem3.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. On )
14		exmidontriimlem3.em	. . . . 5 |- ( ph -> EXMID )
15		exmidontriimlem3.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. On )
16		exmidontriimlem3.ha	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
17		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( z e. y <-> u e. y ) )
18		equequ1 1764	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( z = y <-> u = y ) )
19		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( y e. z <-> y e. u ) )
20	17, 18, 19	3orbi123d 1352	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) <-> ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) ) )
21	20	ralbidv 2550	. . . . . . . . 9 |- ( z = u -> ( A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) <-> A. y e. On ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) ) )
22	21	cbvralv 2786	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) <-> A. u e. A A. y e. On ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) )
23	16, 22	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. u e. A A. y e. On ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) )
24		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( u e. y <-> u e. B ) )
25		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( u = y <-> u = B ) )
26		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( y e. u <-> B e. u ) )
27	24, 25, 26	3orbi123d 1352	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) <-> ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) ) )
28	27	rspcv 2925	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A. y e. On ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) -> ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) ) )
29	28	ralimdv 2618	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( A. u e. A A. y e. On ( u e. y \/ u = y \/ y e. u ) -> A. u e. A ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) ) )
30	15, 23, 29	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) )
31		biid 171	. . . . . . . . 9 |- ( u e. B <-> u e. B )
32		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( u = B <-> B = u )
33		biid 171	. . . . . . . . 9 |- ( B e. u <-> B e. u )
34	31, 32, 33	3orbi123i 1220	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) <-> ( u e. B \/ B = u \/ B e. u ) )
35		3orcomb 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. B \/ B = u \/ B e. u ) <-> ( u e. B \/ B e. u \/ B = u ) )
36		3orrot 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. B \/ B e. u \/ B = u ) <-> ( B e. u \/ B = u \/ u e. B ) )
37	34, 35, 36	3bitri 206	. . . . . . 7 |- ( ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) <-> ( B e. u \/ B = u \/ u e. B ) )
38	37	ralbii 2556	. . . . . 6 |- ( A. u e. A ( u e. B \/ u = B \/ B e. u ) <-> A. u e. A ( B e. u \/ B = u \/ u e. B ) )
39	30, 38	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. A ( B e. u \/ B = u \/ u e. B ) )
40	13, 14, 39	exmidontriimlem2 7568	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. A \/ A. u e. A u e. B ) )
41	40	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) -> ( B e. A \/ A. u e. A u e. B ) )
42	4, 12, 41	mpjaodan 810	. 2 |- ( ( ph /\ A. w e. B w e. A ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
43		exmidontriimlem3.hb	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
44		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( A e. y <-> A e. w ) )
45		eqeq2 2248	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( A = y <-> A = w ) )
46		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( y e. A <-> w e. A ) )
47	44, 45, 46	3orbi123d 1352	. . . . 5 |- ( y = w -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) <-> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) )
48	47	cbvralv 2786	. . . 4 |- ( A. y e. B ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) <-> A. w e. B ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) )
49	43, 48	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. w e. B ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) )
50	15, 14, 49	exmidontriimlem2 7568	. 2 |- ( ph -> ( A e. B \/ A. w e. B w e. A ) )
51	2, 42, 50	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220  EXMIDwem 4326   Oncon0 4503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-uni 3931  df-tr 4225  df-exmid 4327  df-iord 4506  df-on 4508

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem4  7570