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Theorem exmidontriim 7161
Description: Excluded middle implies ordinal trichotomy. Lemma 10.4.1 of [HoTT], p. (varies). The proof follows the proof from the HoTT book fairly closely. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
exmidontriim  |-  (EXMID  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem exmidontriim
Dummy variables  a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2218 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  y  <->  z  e.  y ) )
2 equequ1 1692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  <->  z  =  y ) )
3 eleq2 2221 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
41, 2, 33orbi123d 1293 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
54ralbidv 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
65imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
(EXMID 
->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )  <->  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) ) )
7 simplll 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  x  e.  On )
8 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  a  e.  On )
9 simplr 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  -> EXMID )
10 simpllr 524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
11 pm2.27 40 . . . . . . . . . . 11  |-  (EXMID  ->  (
(EXMID 
->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
1211ralimdv 2525 . . . . . . . . . 10  |-  (EXMID  ->  ( A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  A. z  e.  x  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
1312ad2antlr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  ( A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  A. z  e.  x  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
1410, 13mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  A. z  e.  x  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )
157, 8, 9, 14exmidontriimlem4 7160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  (
x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x ) )
1615ralrimiva 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  ->  A. a  e.  On  ( x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x
) )
17 eleq2 2221 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
x  e.  a  <->  x  e.  y ) )
18 equequ2 1693 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
x  =  a  <->  x  =  y ) )
19 eleq1w 2218 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
a  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2017, 18, 193orbi123d 1293 . . . . . . 7  |-  ( a  =  y  ->  (
( x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2120cbvralv 2680 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  On  (
x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x )  <->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2216, 21sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  ->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2322exp31 362 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  (EXMID  ->  A. y  e.  On  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) ) )
246, 23tfis2 4545 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  (EXMID  ->  A. y  e.  On  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2524impcom 124 . 2  |-  ( (EXMID  /\  x  e.  On )  ->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2625ralrimiva 2530 1  |-  (EXMID  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 962    e. wcel 2128   A.wral 2435  EXMIDwem 4156   Oncon0 4324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-setind 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-uni 3774  df-tr 4064  df-exmid 4157  df-iord 4327  df-on 4329
This theorem is referenced by:  exmidontri  7175  onntri51  7176  exmidontri2or  7179
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