Theorem exmidontriim 7181

Description: Excluded middle implies ordinal trichotomy. Lemma 10.4.1 of [HoTT], p. (varies). The proof follows the proof from the HoTT book fairly closely. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriim	|- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidontriim

Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2227	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. y <-> z e. y ) )
2		equequ1 1700	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
3		eleq2 2230	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1301	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
5	4	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = z -> ( (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) <-> (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) )
7		simplll 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> x e. On )
8		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> a e. On )
9		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> EXMID )
10		simpllr 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
11		pm2.27 40	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
12	11	ralimdv 2534	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
13	12	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
14	10, 13	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
15	7, 8, 9, 14	exmidontriimlem4 7180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) )
16	15	ralrimiva 2539	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) -> A. a e. On ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) )
17		eleq2 2230	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( x e. a <-> x e. y ) )
18		equequ2 1701	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( x = a <-> x = y ) )
19		eleq1w 2227	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( a e. x <-> y e. x ) )
20	17, 18, 19	3orbi123d 1301	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
21	20	cbvralv 2692	. . . . . 6 |- ( A. a e. On ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) <-> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
22	16, 21	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	22	exp31 362	. . . 4 |- ( x e. On -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) ) )
24	6, 23	tfis2 4562	. . 3 |- ( x e. On -> (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
25	24	impcom 124	. 2 |- ( (EXMID /\ x e. On ) -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
26	25	ralrimiva 2539	1 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 967   e. wcel 2136   A.wral 2444  EXMIDwem 4173   Oncon0 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-iord 4344  df-on 4346

This theorem is referenced by:  exmidontri  7195  onntri51  7196  exmidontri2or  7199