Theorem exmidontriim 7154

Description: Excluded middle implies ordinal trichotomy. Lemma 10.4.1 of [HoTT], p. (varies). The proof follows the proof from the HoTT book fairly closely. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriim	|- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidontriim

Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2218	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. y <-> z e. y ) )
2		equequ1 1692	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
3		eleq2 2221	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1293	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
5	4	ralbidv 2457	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = z -> ( (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) <-> (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) )
7		simplll 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> x e. On )
8		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> a e. On )
9		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> EXMID )
10		simpllr 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
11		pm2.27 40	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
12	11	ralimdv 2525	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
13	12	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
14	10, 13	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
15	7, 8, 9, 14	exmidontriimlem4 7153	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) )
16	15	ralrimiva 2530	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) -> A. a e. On ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) )
17		eleq2 2221	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( x e. a <-> x e. y ) )
18		equequ2 1693	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( x = a <-> x = y ) )
19		eleq1w 2218	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( a e. x <-> y e. x ) )
20	17, 18, 19	3orbi123d 1293	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
21	20	cbvralv 2680	. . . . . 6 |- ( A. a e. On ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) <-> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
22	16, 21	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	22	exp31 362	. . . 4 |- ( x e. On -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) ) )
24	6, 23	tfis2 4543	. . 3 |- ( x e. On -> (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
25	24	impcom 124	. 2 |- ( (EXMID /\ x e. On ) -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
26	25	ralrimiva 2530	1 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 962   e. wcel 2128   A.wral 2435  EXMIDwem 4155   Oncon0 4323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-uni 3773  df-tr 4063  df-exmid 4156  df-iord 4326  df-on 4328

This theorem is referenced by:  exmidontri  7168  onntri51  7169  exmidontri2or  7172