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Theorem exmidontriim 7202
Description: Excluded middle implies ordinal trichotomy. Lemma 10.4.1 of [HoTT], p. (varies). The proof follows the proof from the HoTT book fairly closely. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
exmidontriim  |-  (EXMID  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem exmidontriim
Dummy variables  a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2231 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  y  <->  z  e.  y ) )
2 equequ1 1705 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  <->  z  =  y ) )
3 eleq2 2234 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
41, 2, 33orbi123d 1306 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
54ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
65imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
(EXMID 
->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )  <->  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) ) )
7 simplll 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  x  e.  On )
8 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  a  e.  On )
9 simplr 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  -> EXMID )
10 simpllr 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
11 pm2.27 40 . . . . . . . . . . 11  |-  (EXMID  ->  (
(EXMID 
->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
1211ralimdv 2538 . . . . . . . . . 10  |-  (EXMID  ->  ( A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  A. z  e.  x  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
1312ad2antlr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  ( A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  A. z  e.  x  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )
1410, 13mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  A. z  e.  x  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )
157, 8, 9, 14exmidontriimlem4 7201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  /\  a  e.  On )  ->  (
x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x ) )
1615ralrimiva 2543 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  ->  A. a  e.  On  ( x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x
) )
17 eleq2 2234 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
x  e.  a  <->  x  e.  y ) )
18 equequ2 1706 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
x  =  a  <->  x  =  y ) )
19 eleq1w 2231 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  (
a  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2017, 18, 193orbi123d 1306 . . . . . . 7  |-  ( a  =  y  ->  (
( x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2120cbvralv 2696 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  On  (
x  e.  a  \/  x  =  a  \/  a  e.  x )  <->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2216, 21sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  On  /\ 
A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) ) )  /\ EXMID )  ->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2322exp31 362 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. z  e.  x  (EXMID  ->  A. y  e.  On  ( z  e.  y  \/  z  =  y  \/  y  e.  z ) )  ->  (EXMID  ->  A. y  e.  On  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) ) )
246, 23tfis2 4569 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  (EXMID  ->  A. y  e.  On  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2524impcom 124 . 2  |-  ( (EXMID  /\  x  e.  On )  ->  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2625ralrimiva 2543 1  |-  (EXMID  ->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 972    e. wcel 2141   A.wral 2448  EXMIDwem 4180   Oncon0 4348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-iord 4351  df-on 4353
This theorem is referenced by:  exmidontri  7216  onntri51  7217  exmidontri2or  7220
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