Theorem exmidontriim 7407

Description: Excluded middle implies ordinal trichotomy. Lemma 10.4.1 of [HoTT], p. (varies). The proof follows the proof from the HoTT book fairly closely. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriim	|- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidontriim

Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2290	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. y <-> z e. y ) )
2		equequ1 1758	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
3		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1345	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
5	4	ralbidv 2530	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = z -> ( (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) <-> (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) )
7		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> x e. On )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> a e. On )
9		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> EXMID )
10		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
11		pm2.27 40	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
12	11	ralimdv 2598	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) )
14	10, 13	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> A. z e. x A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
15	7, 8, 9, 14	exmidontriimlem4 7406	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) /\ a e. On ) -> ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) )
16	15	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) -> A. a e. On ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) )
17		eleq2 2293	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( x e. a <-> x e. y ) )
18		equequ2 1759	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( x = a <-> x = y ) )
19		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( a e. x <-> y e. x ) )
20	17, 18, 19	3orbi123d 1345	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
21	20	cbvralv 2765	. . . . . 6 |- ( A. a e. On ( x e. a \/ x = a \/ a e. x ) <-> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
22	16, 21	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( x e. On /\ A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) ) /\ EXMID ) -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	22	exp31 364	. . . 4 |- ( x e. On -> ( A. z e. x (EXMID -> A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) ) -> (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) ) )
24	6, 23	tfis2 4677	. . 3 |- ( x e. On -> (EXMID -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
25	24	impcom 125	. 2 |- ( (EXMID /\ x e. On ) -> A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
26	25	ralrimiva 2603	1 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   e. wcel 2200   A.wral 2508  EXMIDwem 4278   Oncon0 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-uni 3889  df-tr 4183  df-exmid 4279  df-iord 4457  df-on 4459

This theorem is referenced by:  exmidontri  7424  onntri51  7425  exmidontri2or  7428