Theorem exmidontriimlem2 7436

Description: Lemma for exmidontriim 7439. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
exmidontriimlem2.em	⊢ (𝜑 → EXMID)
exmidontriimlem2.hb	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝑦)
4		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		ontr1 4486	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	r19.29an 2675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	orcd 740	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 = 𝑦)
11		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13	12	r19.29an 2675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	13	orcd 740	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
15		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴)
16	15	olcd 741	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 ⊢ (𝜑 → EXMID)
19		exmidontriimlem1 7435	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ EXMID) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  EXMIDwem 4284  Oncon0 4460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-uni 3894  df-tr 4188  df-exmid 4285  df-iord 4463  df-on 4465

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7437