Theorem exmidontriimlem2 7400

Description: Lemma for exmidontriim 7403. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
exmidontriimlem2.em	⊢ (𝜑 → EXMID)
exmidontriimlem2.hb	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝑦)
4		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		ontr1 4479	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	r19.29an 2673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	orcd 738	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 = 𝑦)
11		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13	12	r19.29an 2673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	13	orcd 738	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
15		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴)
16	15	olcd 739	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 ⊢ (𝜑 → EXMID)
19		exmidontriimlem1 7399	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ EXMID) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1341	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  EXMIDwem 4277  Oncon0 4453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-uni 3888  df-tr 4182  df-exmid 4278  df-iord 4456  df-on 4458

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7401