Theorem exmidontriimlem2 7542

Description: Lemma for exmidontriim 7545. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
exmidontriimlem2.em	⊢ (𝜑 → EXMID)
exmidontriimlem2.hb	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝑦)
4		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		ontr1 4515	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	r19.29an 2687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	orcd 741	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 = 𝑦)
11		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13	12	r19.29an 2687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	13	orcd 741	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
15		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴)
16	15	olcd 742	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 ⊢ (𝜑 → EXMID)
19		exmidontriimlem1 7541	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ EXMID) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  EXMIDwem 4312  Oncon0 4489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-uni 3920  df-tr 4214  df-exmid 4313  df-iord 4492  df-on 4494

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7543