ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidontriimlem2 GIF version

Theorem exmidontriimlem2 7172
Description: Lemma for exmidontriim 7175. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
exmidontriimlem2.b (𝜑𝐵 ∈ On)
exmidontriimlem2.em (𝜑EXMID)
exmidontriimlem2.hb (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦𝑦𝐴))
Assertion
Ref Expression
exmidontriimlem2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem exmidontriimlem2
StepHypRef Expression
1 exmidontriimlem2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ On)
21ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴𝑦) → 𝐵 ∈ On)
3 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴𝑦) → 𝐴𝑦)
4 simplr 520 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴𝑦) → 𝑦𝐵)
53, 4jca 304 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴𝑦) → (𝐴𝑦𝑦𝐵))
6 ontr1 4364 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → ((𝐴𝑦𝑦𝐵) → 𝐴𝐵))
72, 5, 6sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴𝑦) → 𝐴𝐵)
87r19.29an 2606 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝐴𝑦) → 𝐴𝐵)
98orcd 723 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝐴𝑦) → (𝐴𝐵 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
10 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 = 𝑦)
11 simplr 520 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝑦𝐵)
1210, 11eqeltrd 2241 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴𝐵)
1312r19.29an 2606 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝐴 = 𝑦) → 𝐴𝐵)
1413orcd 723 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝐴 = 𝑦) → (𝐴𝐵 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
15 simpr 109 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴) → ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴)
1615olcd 724 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴) → (𝐴𝐵 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
17 exmidontriimlem2.hb . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦𝑦𝐴))
18 exmidontriimlem2.em . . 3 (𝜑EXMID)
19 exmidontriimlem1 7171 . . 3 ((∀𝑦𝐵 (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦𝑦𝐴) ∧ EXMID) → (∃𝑦𝐵 𝐴𝑦 ∨ ∃𝑦𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
2017, 18, 19syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝐵 𝐴𝑦 ∨ ∃𝑦𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
219, 14, 16, 20mpjao3dan 1296 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ∨ ∀𝑦𝐵 𝑦𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698  w3o 966   = wceq 1342  wcel 2135  wral 2442  wrex 2443  EXMIDwem 4170  Oncon0 4338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-dif 3116  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-uni 3787  df-tr 4078  df-exmid 4171  df-iord 4341  df-on 4343
This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7173
  Copyright terms: Public domain W3C validator