Theorem exmidontriimlem2 7568

Description: Lemma for exmidontriim 7571. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
exmidontriimlem2.em	⊢ (𝜑 → EXMID)
exmidontriimlem2.hb	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Proof of Theorem exmidontriimlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriimlem2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
2	1	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝑦)
4		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		ontr1 4529	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	2, 5, 6	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	7	r19.29an 2693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	orcd 745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 = 𝑦)
11		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13	12	r19.29an 2693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	13	orcd 745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
15		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴)
16	15	olcd 746	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
17		exmidontriimlem2.hb	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		exmidontriimlem2.em	. . 3 ⊢ (𝜑 → EXMID)
19		exmidontriimlem1 7567	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ EXMID) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑦 ∨ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 = 𝑦 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))
21	9, 14, 16, 20	mpjao3dan 1348	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  EXMIDwem 4326  Oncon0 4503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-uni 3931  df-tr 4225  df-exmid 4327  df-iord 4506  df-on 4508

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem3  7569