Theorem f1resf1 5403

Description: The restriction of an injective function is injective. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
f1resf1	|- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) /\ ( F |` C ) : C --> D ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> D )

Proof of Theorem f1resf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 5402	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )
2		f1ff1 5401	. 2 |- ( ( ( F |` C ) : C -1-1-> B /\ ( F |` C ) : C --> D ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> D )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) /\ ( F |` C ) : C --> D ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   C_ wss 3116   |` cres 4606   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193

This theorem is referenced by: (None)