Theorem f1ssres 5468

Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssres	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Proof of Theorem f1ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5459	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fssres 5429	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
4		df-f1 5259	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
5	4	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' F )
6		funres11 5326	. . . 4 |- ( Fun `' F -> Fun `' ( F |` C ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( F |` C ) )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> Fun `' ( F |` C ) )
9		df-f1 5259	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ Fun `' ( F |` C ) ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   C_ wss 3153   `'ccnv 4658   |` cres 4661   Fun wfun 5248   -->wf 5250   -1-1->wf1 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259

This theorem is referenced by:  f1resf1  5469  f1ores  5515  conjsubgen  13348