Theorem f1ssres 5512

Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssres	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Proof of Theorem f1ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5503	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fssres 5473	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
4		df-f1 5295	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
5	4	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' F )
6		funres11 5365	. . . 4 |- ( Fun `' F -> Fun `' ( F |` C ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( F |` C ) )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> Fun `' ( F |` C ) )
9		df-f1 5295	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ Fun `' ( F |` C ) ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   C_ wss 3174   `'ccnv 4692   |` cres 4695   Fun wfun 5284   -->wf 5286   -1-1->wf1 5287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295

This theorem is referenced by:  f1resf1  5513  f1ores  5559  conjsubgen  13729