Theorem f1ssres 5540

Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssres	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Proof of Theorem f1ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5531	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fssres 5501	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
4		df-f1 5323	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
5	4	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' F )
6		funres11 5393	. . . 4 |- ( Fun `' F -> Fun `' ( F |` C ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( F |` C ) )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> Fun `' ( F |` C ) )
9		df-f1 5323	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ Fun `' ( F |` C ) ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   C_ wss 3197   `'ccnv 4718   |` cres 4721   Fun wfun 5312   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323

This theorem is referenced by:  f1resf1  5541  f1ores  5587  conjsubgen  13815