Theorem f1ssres 5238

Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssres	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Proof of Theorem f1ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5229	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fssres 5199	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
3	1, 2	sylan 278	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
4		df-f1 5033	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
5	4	simprbi 270	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' F )
6		funres11 5099	. . . 4 |- ( Fun `' F -> Fun `' ( F |` C ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( F |` C ) )
8	7	adantr 271	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> Fun `' ( F |` C ) )
9		df-f1 5033	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ Fun `' ( F |` C ) ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 409	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   C_ wss 3000   `'ccnv 4450   |` cres 4453   Fun wfun 5022   -->wf 5024   -1-1->wf1 5025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033

This theorem is referenced by:  f1resf1  5239  f1ores  5281