ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ssres Unicode version

Theorem f1ssres 5238
Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1ssres  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( F  |`  C ) : C -1-1-> B )

Proof of Theorem f1ssres
StepHypRef Expression
1 f1f 5229 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 fssres 5199 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
31, 2sylan 278 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( F  |`  C ) : C --> B )
4 df-f1 5033 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  Fun  `' F ) )
54simprbi 270 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  Fun  `' F )
6 funres11 5099 . . . 4  |-  ( Fun  `' F  ->  Fun  `' ( F  |`  C ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  Fun  `' ( F  |`  C ) )
87adantr 271 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  Fun  `' ( F  |`  C ) )
9 df-f1 5033 . 2  |-  ( ( F  |`  C ) : C -1-1-> B  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  Fun  `' ( F  |`  C )
) )
103, 8, 9sylanbrc 409 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( F  |`  C ) : C -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    C_ wss 3000   `'ccnv 4450    |` cres 4453   Fun wfun 5022   -->wf 5024   -1-1->wf1 5025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033
This theorem is referenced by:  f1resf1  5239  f1ores  5281
  Copyright terms: Public domain W3C validator