Theorem f1resf1 5491

Description: The restriction of an injective function is injective. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
f1resf1	⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐷) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐷)

Proof of Theorem f1resf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 5490	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐵)
2		f1ff1 5489	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐵 ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐷) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐷)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐷) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3166   ↾ cres 4677  ⟶wf 5267  –1-1→wf1 5268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276

This theorem is referenced by: (None)