Theorem iinab 3979

Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iinab	|- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iinab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2341	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiinxy 3944	. . 3 |- F/_ y |^|_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2341	. . 3 |- F/_ y { y | A. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2364	. 2 |- ( |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph } <-> A. y ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } ) )
6		abid 2184	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	ralbii 2503	. . 3 |- ( A. x e. A y e. { y | ph } <-> A. x e. A ph )
8		vex 2766	. . . 4 |- y e. _V
9		eliin 3922	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } )
11		abid 2184	. . 3 |- ( y e. { y | A. x e. A ph } <-> A. x e. A ph )
12	7, 10, 11	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } )
13	5, 12	mpgbir 1467	1 |- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   _Vcvv 2763   |^|_ciin 3918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-iin 3920

This theorem is referenced by:  iinrabm  3980