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Theorem iinab 3791
Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
iinab  |-  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
y  |  A. x  e.  A  ph }
Distinct variable groups:    y, A    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)

Proof of Theorem iinab
StepHypRef Expression
1 nfcv 2228 . . . 4  |-  F/_ y A
2 nfab1 2230 . . . 4  |-  F/_ y { y  |  ph }
31, 2nfiinxy 3757 . . 3  |-  F/_ y |^|_ x  e.  A  {
y  |  ph }
4 nfab1 2230 . . 3  |-  F/_ y { y  |  A. x  e.  A  ph }
53, 4cleqf 2252 . 2  |-  ( |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  { y  |  A. x  e.  A  ph }  <->  A. y ( y  e. 
|^|_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<->  y  e.  { y  |  A. x  e.  A  ph } ) )
6 abid 2076 . . . 4  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
76ralbii 2384 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph } 
<-> 
A. x  e.  A  ph )
8 vex 2622 . . . 4  |-  y  e. 
_V
9 eliin 3735 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  <->  A. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph }
) )
108, 9ax-mp 7 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<-> 
A. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph } )
11 abid 2076 . . 3  |-  ( y  e.  { y  | 
A. x  e.  A  ph }  <->  A. x  e.  A  ph )
127, 10, 113bitr4i 210 . 2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<->  y  e.  { y  |  A. x  e.  A  ph } )
135, 12mpgbir 1387 1  |-  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
y  |  A. x  e.  A  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   _Vcvv 2619   |^|_ciin 3731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-iin 3733
This theorem is referenced by:  iinrabm  3792
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