Theorem iinab 3882

Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iinab	|- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iinab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2282	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2284	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiinxy 3848	. . 3 |- F/_ y |^|_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2284	. . 3 |- F/_ y { y | A. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2306	. 2 |- ( |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph } <-> A. y ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } ) )
6		abid 2128	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	ralbii 2444	. . 3 |- ( A. x e. A y e. { y | ph } <-> A. x e. A ph )
8		vex 2692	. . . 4 |- y e. _V
9		eliin 3826	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } )
11		abid 2128	. . 3 |- ( y e. { y | A. x e. A ph } <-> A. x e. A ph )
12	7, 10, 11	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } )
13	5, 12	mpgbir 1430	1 |- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   _Vcvv 2689   |^|_ciin 3822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-iin 3824

This theorem is referenced by:  iinrabm  3883