Theorem iinab 3927

Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iinab	|- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iinab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2308	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2310	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiinxy 3893	. . 3 |- F/_ y |^|_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2310	. . 3 |- F/_ y { y | A. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2333	. 2 |- ( |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph } <-> A. y ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } ) )
6		abid 2153	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	ralbii 2472	. . 3 |- ( A. x e. A y e. { y | ph } <-> A. x e. A ph )
8		vex 2729	. . . 4 |- y e. _V
9		eliin 3871	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } )
11		abid 2153	. . 3 |- ( y e. { y | A. x e. A ph } <-> A. x e. A ph )
12	7, 10, 11	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } )
13	5, 12	mpgbir 1441	1 |- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   _Vcvv 2726   |^|_ciin 3867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-iin 3869

This theorem is referenced by:  iinrabm  3928