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Theorem iinab 3844
Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
iinab  |-  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
y  |  A. x  e.  A  ph }
Distinct variable groups:    y, A    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)

Proof of Theorem iinab
StepHypRef Expression
1 nfcv 2258 . . . 4  |-  F/_ y A
2 nfab1 2260 . . . 4  |-  F/_ y { y  |  ph }
31, 2nfiinxy 3810 . . 3  |-  F/_ y |^|_ x  e.  A  {
y  |  ph }
4 nfab1 2260 . . 3  |-  F/_ y { y  |  A. x  e.  A  ph }
53, 4cleqf 2282 . 2  |-  ( |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  { y  |  A. x  e.  A  ph }  <->  A. y ( y  e. 
|^|_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<->  y  e.  { y  |  A. x  e.  A  ph } ) )
6 abid 2105 . . . 4  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
76ralbii 2418 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph } 
<-> 
A. x  e.  A  ph )
8 vex 2663 . . . 4  |-  y  e. 
_V
9 eliin 3788 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  <->  A. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph }
) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<-> 
A. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph } )
11 abid 2105 . . 3  |-  ( y  e.  { y  | 
A. x  e.  A  ph }  <->  A. x  e.  A  ph )
127, 10, 113bitr4i 211 . 2  |-  ( y  e.  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<->  y  e.  { y  |  A. x  e.  A  ph } )
135, 12mpgbir 1414 1  |-  |^|_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
y  |  A. x  e.  A  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   _Vcvv 2660   |^|_ciin 3784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-v 2662  df-iin 3786
This theorem is referenced by:  iinrabm  3845
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