Theorem iunun 3951

Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunun	|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Proof of Theorem iunun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.43 2628	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
2		elun 3268	. . . . 5 |- ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3	2	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4		eliun 3877	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5		eliun 3877	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
6	4, 5	orbi12i 759	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
7	1, 3, 6	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
8		eliun 3877	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> E. x e. A y e. ( B u. C ) )
9		elun 3268	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) )
11	10	eqriv 2167	1 |- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Syntax hints:   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   u. cun 3119   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-iun 3875

This theorem is referenced by: (None)