Theorem iunxun 3815

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof of Theorem iunxun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun 3181	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun 3740	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun 3740	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2, 3	orbi12i 717	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1, 4	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun 3740	. . 3 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun 3142	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv 2086	1 |- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Syntax hints:   \/ wo 665   = wceq 1290   e. wcel 1439   E.wrex 2361   u. cun 2998   U_ciun 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-iun 3738

This theorem is referenced by:  iunsuc  4256  rdgisuc1  6163  oasuc  6239  omsuc  6247  iunfidisj  6709  fsum2dlemstep  10889  fsumiun  10932  iuncld  11876