Theorem iunxun 4055

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof of Theorem iunxun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun 3389	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun 3979	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun 3979	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2, 3	orbi12i 772	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1, 4	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun 3979	. . 3 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun 3350	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv 2228	1 |- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Syntax hints:   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   u. cun 3199   U_ciun 3975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-iun 3977

This theorem is referenced by:  iunxprg  4056  iunsuc  4523  rdgisuc1  6593  oasuc  6675  omsuc  6683  iunfidisj  7188  fsum2dlemstep  12058  fsumiun  12101  fprod2dlemstep  12246  iuncld  14909