Theorem iunxun 3944

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof of Theorem iunxun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun 3301	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun 3869	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun 3869	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2, 3	orbi12i 754	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1, 4	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun 3869	. . 3 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun 3262	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv 2162	1 |- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Syntax hints:   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2444   u. cun 3113   U_ciun 3865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-iun 3867

This theorem is referenced by:  iunxprg  3945  iunsuc  4397  rdgisuc1  6348  oasuc  6428  omsuc  6436  iunfidisj  6907  fsum2dlemstep  11371  fsumiun  11414  fprod2dlemstep  11559  iuncld  12715