Theorem iunxun 3965

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof of Theorem iunxun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun 3315	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun 3890	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun 3890	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2, 3	orbi12i 764	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1, 4	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun 3890	. . 3 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun 3276	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv 2174	1 |- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Syntax hints:   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   u. cun 3127   U_ciun 3886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-iun 3888

This theorem is referenced by:  iunxprg  3966  iunsuc  4419  rdgisuc1  6381  oasuc  6461  omsuc  6469  iunfidisj  6941  fsum2dlemstep  11434  fsumiun  11477  fprod2dlemstep  11622  iuncld  13477