Theorem iunxun 3978

Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Proof of Theorem iunxun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexun 3327	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
2		eliun 3902	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
3		eliun 3902	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. B C <-> E. x e. B y e. C )
4	2, 3	orbi12i 765	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) <-> ( E. x e. A y e. C \/ E. x e. B y e. C ) )
5	1, 4	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. B ) y e. C <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
6		eliun 3902	. . 3 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> E. x e. ( A u. B ) y e. C )
7		elun 3288	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) <-> ( y e. U_ x e. A C \/ y e. U_ x e. B C ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. ( A u. B ) C <-> y e. ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C ) )
9	8	eqriv 2184	1 |- U_ x e. ( A u. B ) C = ( U_ x e. A C u. U_ x e. B C )

Syntax hints:   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   u. cun 3139   U_ciun 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-iun 3900

This theorem is referenced by:  iunxprg  3979  iunsuc  4432  rdgisuc1  6399  oasuc  6479  omsuc  6487  iunfidisj  6959  fsum2dlemstep  11456  fsumiun  11499  fprod2dlemstep  11644  iuncld  13911