Theorem iunxprg 3953

Description: A pair index picks out two instances of an indexed union's argument. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxprg.1	|- ( x = A -> C = D )
iunxprg.2	|- ( x = B -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
iunxprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A , B } C = ( D u. E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, E

Allowed substitution hints:   C( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem iunxprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3590	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		iuneq1 3886	. . . 4 |- ( { A , B } = ( { A } u. { B } ) -> U_ x e. { A , B } C = U_ x e. ( { A } u. { B } ) C )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- U_ x e. { A , B } C = U_ x e. ( { A } u. { B } ) C
4		iunxun 3952	. . 3 |- U_ x e. ( { A } u. { B } ) C = ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C )
5	3, 4	eqtri 2191	. 2 |- U_ x e. { A , B } C = ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C )
6		iunxprg.1	. . . . 5 |- ( x = A -> C = D )
7	6	iunxsng 3948	. . . 4 |- ( A e. V -> U_ x e. { A } C = D )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A } C = D )
9		iunxprg.2	. . . . 5 |- ( x = B -> C = E )
10	9	iunxsng 3948	. . . 4 |- ( B e. W -> U_ x e. { B } C = E )
11	10	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { B } C = E )
12	8, 11	uneq12d 3282	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C ) = ( D u. E ) )
13	5, 12	eqtrid 2215	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A , B } C = ( D u. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   {csn 3583   {cpr 3584   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-iun 3875

This theorem is referenced by:  unct  12397