Theorem iunxprg 3969

Description: A pair index picks out two instances of an indexed union's argument. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxprg.1	|- ( x = A -> C = D )
iunxprg.2	|- ( x = B -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
iunxprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A , B } C = ( D u. E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, E

Allowed substitution hints:   C( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem iunxprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3601	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		iuneq1 3901	. . . 4 |- ( { A , B } = ( { A } u. { B } ) -> U_ x e. { A , B } C = U_ x e. ( { A } u. { B } ) C )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- U_ x e. { A , B } C = U_ x e. ( { A } u. { B } ) C
4		iunxun 3968	. . 3 |- U_ x e. ( { A } u. { B } ) C = ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C )
5	3, 4	eqtri 2198	. 2 |- U_ x e. { A , B } C = ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C )
6		iunxprg.1	. . . . 5 |- ( x = A -> C = D )
7	6	iunxsng 3964	. . . 4 |- ( A e. V -> U_ x e. { A } C = D )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A } C = D )
9		iunxprg.2	. . . . 5 |- ( x = B -> C = E )
10	9	iunxsng 3964	. . . 4 |- ( B e. W -> U_ x e. { B } C = E )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { B } C = E )
12	8, 11	uneq12d 3292	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C ) = ( D u. E ) )
13	5, 12	eqtrid 2222	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A , B } C = ( D u. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   {csn 3594   {cpr 3595   U_ciun 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-iun 3890

This theorem is referenced by:  unct  12445