Theorem iunxprg 3993

Description: A pair index picks out two instances of an indexed union's argument. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxprg.1	|- ( x = A -> C = D )
iunxprg.2	|- ( x = B -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
iunxprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A , B } C = ( D u. E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, E

Allowed substitution hints:   C( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem iunxprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3625	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		iuneq1 3925	. . . 4 |- ( { A , B } = ( { A } u. { B } ) -> U_ x e. { A , B } C = U_ x e. ( { A } u. { B } ) C )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- U_ x e. { A , B } C = U_ x e. ( { A } u. { B } ) C
4		iunxun 3992	. . 3 |- U_ x e. ( { A } u. { B } ) C = ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C )
5	3, 4	eqtri 2214	. 2 |- U_ x e. { A , B } C = ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C )
6		iunxprg.1	. . . . 5 |- ( x = A -> C = D )
7	6	iunxsng 3988	. . . 4 |- ( A e. V -> U_ x e. { A } C = D )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A } C = D )
9		iunxprg.2	. . . . 5 |- ( x = B -> C = E )
10	9	iunxsng 3988	. . . 4 |- ( B e. W -> U_ x e. { B } C = E )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { B } C = E )
12	8, 11	uneq12d 3314	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U_ x e. { A } C u. U_ x e. { B } C ) = ( D u. E ) )
13	5, 12	eqtrid 2238	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U_ x e. { A , B } C = ( D u. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   {csn 3618   {cpr 3619   U_ciun 3912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-iun 3914

This theorem is referenced by:  unct  12599