Theorem unct 12426

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	|- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h   B, f, g, h

Proof of Theorem unct

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6516	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
2		nnfi 6866	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
3		finct 7109	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. Fin -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 |- E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
7		df2o3 6425	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
8		djueq1 7033	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o = { (/) , 1o } -> ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) -> ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 |- ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13		iftrue 3539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = f )
14		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> om = om )
15		iftrue 3539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = A )
16		djueq1 7033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = A -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
18	13, 14, 17	foeq123d 5450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
23		1n0 6427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
24	23	neii 2349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
25		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
26	24, 25	mtbiri 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> -. x = (/) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> -. x = (/) )
28		iffalse 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = g )
29		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> om = om )
30		iffalse 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
31		djueq1 7033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = B -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
33	28, 29, 32	foeq123d 5450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = 1o -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
37	21, 36	jaod 717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( ( x = (/) \/ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
38		elpri 3614	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { (/) , 1o } -> ( x = (/) \/ x = 1o ) )
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x e. { (/) , 1o } ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
40	11, 39	ctiunct 12424	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
41		0lt2o 6436	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
42		1lt2o 6437	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
43	26	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1o -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
44	15, 43	iunxprg 3964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. 2o /\ 1o e. 2o ) -> U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) )
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B )
46		djueq1 7033	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) -> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
47		foeq3 5432	. . . . . . . . 9 |- ( ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
49	48	exbii 1605	. . . . . . 7 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
51	5, 50	exlimddv 1898	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
53	52	exlimiv 1598	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
54	53	exlimdv 1819	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
55	54	imp 124	1 |- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {cpr 3592   U_ciun 3884   omcom 4586   -onto->wfo 5210   1oc1o 6404   2oc2o 6405   Fincfn 6734   ⊔ cdju 7030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-dvds 11779

This theorem is referenced by: (None)