ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unct Unicode version

Theorem unct 11849
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
unct  |-  ( ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  /\  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
Distinct variable groups:    A, f, g, h    B, f, g, h

Proof of Theorem unct
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 6383 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
2 nnfi 6732 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
3 finct 6967 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  Fin  ->  E. j 
j : om -onto-> ( 2o 1o ) )
41, 2, 3mp2b 8 . . . . . . 7  |-  E. j 
j : om -onto-> ( 2o 1o )
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. j 
j : om -onto-> ( 2o 1o ) )
6 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )
7 df2o3 6293 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
8 djueq1 6891 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o  =  { (/) ,  1o }  ->  ( 2o 1o )  =  ( { (/) ,  1o } 1o )
)
9 foeq3 5311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2o 1o )  =  ( { (/) ,  1o } 1o )  ->  ( j : om -onto-> ( 2o 1o )  <-> 
j : om -onto-> ( { (/) ,  1o } 1o ) ) )
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . . 9  |-  ( j : om -onto-> ( 2o 1o )  <->  j : om -onto->
( { (/) ,  1o } 1o ) )
116, 10sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  j : om -onto-> ( { (/) ,  1o } 1o )
)
12 simplll 505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  (/) )  ->  f : om -onto-> ( A 1o ) )
13 iftrue 3447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g )  =  f )
14 eqidd 2116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  om  =  om )
15 iftrue 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  A )
16 djueq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  A  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( A 1o ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( A 1o ) )
1813, 14, 17foeq123d 5329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  f : om -onto->
( A 1o )
) )
1918adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  (/) )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  f : om -onto->
( A 1o )
) )
2012, 19mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  (/) )  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) )
2120ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  (
x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) ) )
22 simpllr 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  g : om -onto-> ( B 1o ) )
23 1n0 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =/=  (/)
2423neii 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1o  =  (/)
25 eqeq1 2122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
2624, 25mtbiri 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1o  ->  -.  x  =  (/) )
2726adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  -.  x  =  (/) )
28 iffalse 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g )  =  g )
29 eqidd 2116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  om  =  om )
30 iffalse 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  B )
31 djueq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  B  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( B 1o ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( B 1o ) )
3328, 29, 32foeq123d 5329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  g : om -onto->
( B 1o )
) )
3427, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  g : om -onto->
( B 1o )
) )
3522, 34mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) )
3635ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  (
x  =  1o  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) ) )
3721, 36jaod 689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  (
( x  =  (/)  \/  x  =  1o )  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto->
( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) ) )
38 elpri 3518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  1o ) )
3937, 38impel 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  e. 
{ (/) ,  1o }
)  ->  if (
x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) )
4011, 39ctiunct 11848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B
) 1o ) )
41 0lt2o 6304 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
42 1lt2o 6305 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
4326iffalsed 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1o  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  B )
4415, 43iunxprg 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  2o  /\  1o  e.  2o )  ->  U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  ( A  u.  B ) )
4541, 42, 44mp2an 420 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  ( A  u.  B )
46 djueq1 6891 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B
)  =  ( A  u.  B )  -> 
( U_ x  e.  { (/)
,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( ( A  u.  B ) 1o ) )
47 foeq3 5311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ x  e.  { (/)
,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( ( A  u.  B ) 1o )  ->  ( h : om -onto-> ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  h : om -onto->
( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
4845, 46, 47mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( h : om -onto-> ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B
) 1o )  <->  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
4948exbii 1567 . . . . . . 7  |-  ( E. h  h : om -onto->
( U_ x  e.  { (/)
,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
5040, 49sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
515, 50exlimddv 1852 . . . . 5  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
5251ex 114 . . . 4  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
5352exlimiv 1560 . . 3  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  ( g : om -onto->
( B 1o )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
5453exlimdv 1773 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  ( E. g  g : om -onto-> ( B 1o )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
5554imp 123 1  |-  ( ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  /\  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    u. cun 3037   (/)c0 3331   ifcif 3442   {cpr 3496   U_ciun 3781   omcom 4472   -onto->wfo 5089   1oc1o 6272   2oc2o 6273   Fincfn 6600   ⊔ cdju 6888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899  df-case 6935  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-dvds 11390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator