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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > unct | Unicode version |
Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.) |
Ref | Expression |
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unct |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 2onn 6525 |
. . . . . . . 8
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2 | nnfi 6875 |
. . . . . . . 8
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3 | finct 7118 |
. . . . . . . 8
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4 | 1, 2, 3 | mp2b 8 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | a1i 9 |
. . . . . 6
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6 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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7 | df2o3 6434 |
. . . . . . . . . 10
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8 | djueq1 7042 |
. . . . . . . . . 10
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9 | foeq3 5438 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 7, 8, 9 | mp2b 8 |
. . . . . . . . 9
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11 | 6, 10 | sylib 122 |
. . . . . . . 8
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12 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | iftrue 3541 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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14 | eqidd 2178 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | iftrue 3541 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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16 | djueq1 7042 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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17 | 15, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | 13, 14, 17 | foeq123d 5456 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | 18 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 12, 19 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 20 | ex 115 |
. . . . . . . . . 10
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22 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 1n0 6436 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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24 | 23 | neii 2349 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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25 | eqeq1 2184 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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26 | 24, 25 | mtbiri 675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 26 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | iffalse 3544 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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29 | eqidd 2178 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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30 | iffalse 3544 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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31 | djueq1 7042 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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32 | 30, 31 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 28, 29, 32 | foeq123d 5456 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 27, 33 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 22, 34 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | ex 115 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 21, 36 | jaod 717 |
. . . . . . . . 9
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38 | elpri 3617 |
. . . . . . . . 9
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39 | 37, 38 | impel 280 |
. . . . . . . 8
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40 | 11, 39 | ctiunct 12444 |
. . . . . . 7
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41 | 0lt2o 6445 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 1lt2o 6446 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 26 | iffalsed 3546 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 15, 43 | iunxprg 3969 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 41, 42, 44 | mp2an 426 |
. . . . . . . . 9
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46 | djueq1 7042 |
. . . . . . . . 9
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47 | foeq3 5438 |
. . . . . . . . 9
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48 | 45, 46, 47 | mp2b 8 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | exbii 1605 |
. . . . . . 7
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50 | 40, 49 | sylib 122 |
. . . . . 6
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51 | 5, 50 | exlimddv 1898 |
. . . . 5
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52 | 51 | ex 115 |
. . . 4
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53 | 52 | exlimiv 1598 |
. . 3
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54 | 53 | exlimdv 1819 |
. 2
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55 | 54 | imp 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 ax-arch 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-xor 1376 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-frec 6395 df-1o 6420 df-2o 6421 df-er 6538 df-en 6744 df-fin 6746 df-dju 7040 df-inl 7049 df-inr 7050 df-case 7086 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-2 8981 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-q 9623 df-rp 9657 df-fz 10012 df-fl 10273 df-mod 10326 df-seqfrec 10449 df-exp 10523 df-dvds 11798 |
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