Theorem unct 13008

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	|- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h   B, f, g, h

Proof of Theorem unct

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6665	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
2		nnfi 7030	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
3		finct 7279	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. Fin -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 |- E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
7		df2o3 6574	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
8		djueq1 7203	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o = { (/) , 1o } -> ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) -> ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 |- ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13		iftrue 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = f )
14		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> om = om )
15		iftrue 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = A )
16		djueq1 7203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = A -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
18	13, 14, 17	foeq123d 5564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
23		1n0 6576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
24	23	neii 2402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
25		eqeq1 2236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
26	24, 25	mtbiri 679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> -. x = (/) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> -. x = (/) )
28		iffalse 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = g )
29		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> om = om )
30		iffalse 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
31		djueq1 7203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = B -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
33	28, 29, 32	foeq123d 5564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = 1o -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
37	21, 36	jaod 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( ( x = (/) \/ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
38		elpri 3689	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { (/) , 1o } -> ( x = (/) \/ x = 1o ) )
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x e. { (/) , 1o } ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
40	11, 39	ctiunct 13006	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
41		0lt2o 6585	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
42		1lt2o 6586	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
43	26	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1o -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
44	15, 43	iunxprg 4045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. 2o /\ 1o e. 2o ) -> U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) )
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B )
46		djueq1 7203	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) -> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
47		foeq3 5545	. . . . . . . . 9 |- ( ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
49	48	exbii 1651	. . . . . . 7 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
51	5, 50	exlimddv 1945	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
53	52	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
54	53	exlimdv 1865	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
55	54	imp 124	1 |- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   u. cun 3195   (/)c0 3491   ifcif 3602   {cpr 3667   U_ciun 3964   omcom 4681   -onto->wfo 5315   1oc1o 6553   2oc2o 6554   Fincfn 6885   ⊔ cdju 7200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-dvds 12294

This theorem is referenced by: (None)