ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unct Unicode version

Theorem unct 12442
Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
unct  |-  ( ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  /\  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
Distinct variable groups:    A, f, g, h    B, f, g, h

Proof of Theorem unct
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 6521 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
2 nnfi 6871 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
3 finct 7114 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  Fin  ->  E. j 
j : om -onto-> ( 2o 1o ) )
41, 2, 3mp2b 8 . . . . . . 7  |-  E. j 
j : om -onto-> ( 2o 1o )
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. j 
j : om -onto-> ( 2o 1o ) )
6 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )
7 df2o3 6430 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
8 djueq1 7038 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o  =  { (/) ,  1o }  ->  ( 2o 1o )  =  ( { (/) ,  1o } 1o )
)
9 foeq3 5436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2o 1o )  =  ( { (/) ,  1o } 1o )  ->  ( j : om -onto-> ( 2o 1o )  <-> 
j : om -onto-> ( { (/) ,  1o } 1o ) ) )
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . . 9  |-  ( j : om -onto-> ( 2o 1o )  <->  j : om -onto->
( { (/) ,  1o } 1o ) )
116, 10sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  j : om -onto-> ( { (/) ,  1o } 1o )
)
12 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  (/) )  ->  f : om -onto-> ( A 1o ) )
13 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g )  =  f )
14 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  om  =  om )
15 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  A )
16 djueq1 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  A  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( A 1o ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( A 1o ) )
1813, 14, 17foeq123d 5454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  f : om -onto->
( A 1o )
) )
1918adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  (/) )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  f : om -onto->
( A 1o )
) )
2012, 19mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  (/) )  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) )
2120ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  (
x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) ) )
22 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  g : om -onto-> ( B 1o ) )
23 1n0 6432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =/=  (/)
2423neii 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1o  =  (/)
25 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
2624, 25mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1o  ->  -.  x  =  (/) )
2726adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  -.  x  =  (/) )
28 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g )  =  g )
29 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  om  =  om )
30 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  B )
31 djueq1 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  B  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( B 1o ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( B 1o ) )
3328, 29, 32foeq123d 5454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  g : om -onto->
( B 1o )
) )
3427, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  ( if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  g : om -onto->
( B 1o )
) )
3522, 34mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  =  1o )  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) )
3635ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  (
x  =  1o  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) ) )
3721, 36jaod 717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  (
( x  =  (/)  \/  x  =  1o )  ->  if ( x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto->
( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) ) )
38 elpri 3615 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  1o ) )
3937, 38impel 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto->
( B 1o )
)  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  /\  x  e. 
{ (/) ,  1o }
)  ->  if (
x  =  (/) ,  f ,  g ) : om -onto-> ( if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o ) )
4011, 39ctiunct 12440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B
) 1o ) )
41 0lt2o 6441 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  2o
42 1lt2o 6442 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  2o
4326iffalsed 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1o  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  B )
4415, 43iunxprg 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  2o  /\  1o  e.  2o )  ->  U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  ( A  u.  B ) )
4541, 42, 44mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B )  =  ( A  u.  B )
46 djueq1 7038 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B
)  =  ( A  u.  B )  -> 
( U_ x  e.  { (/)
,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( ( A  u.  B ) 1o ) )
47 foeq3 5436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ x  e.  { (/)
,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  =  ( ( A  u.  B ) 1o )  ->  ( h : om -onto-> ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  h : om -onto->
( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
4845, 46, 47mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( h : om -onto-> ( U_ x  e.  { (/) ,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B
) 1o )  <->  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
4948exbii 1605 . . . . . . 7  |-  ( E. h  h : om -onto->
( U_ x  e.  { (/)
,  1o } if ( x  =  (/) ,  A ,  B ) 1o )  <->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
5040, 49sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : om -onto->
( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  /\  j : om -onto-> ( 2o 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
515, 50exlimddv 1898 . . . . 5  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
5251ex 115 . . . 4  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
5352exlimiv 1598 . . 3  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  ( g : om -onto->
( B 1o )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
5453exlimdv 1819 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  ( E. g  g : om -onto-> ( B 1o )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) ) )
5554imp 124 1  |-  ( ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  /\  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  E. h  h : om -onto-> ( ( A  u.  B ) 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {cpr 3593   U_ciun 3886   omcom 4589   -onto->wfo 5214   1oc1o 6409   2oc2o 6410   Fincfn 6739   ⊔ cdju 7035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-case 7082  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-dvds 11794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator