Theorem unct 12898

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	|- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h   B, f, g, h

Proof of Theorem unct

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6625	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
2		nnfi 6990	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
3		finct 7239	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. Fin -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 |- E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
7		df2o3 6534	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
8		djueq1 7163	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o = { (/) , 1o } -> ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) -> ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 |- ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13		iftrue 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = f )
14		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> om = om )
15		iftrue 3580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = A )
16		djueq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = A -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
18	13, 14, 17	foeq123d 5532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
23		1n0 6536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
24	23	neii 2379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
25		eqeq1 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
26	24, 25	mtbiri 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> -. x = (/) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> -. x = (/) )
28		iffalse 3583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = g )
29		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> om = om )
30		iffalse 3583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
31		djueq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = B -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
33	28, 29, 32	foeq123d 5532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = 1o -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
37	21, 36	jaod 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( ( x = (/) \/ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
38		elpri 3661	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { (/) , 1o } -> ( x = (/) \/ x = 1o ) )
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x e. { (/) , 1o } ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
40	11, 39	ctiunct 12896	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
41		0lt2o 6545	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
42		1lt2o 6546	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
43	26	iffalsed 3585	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1o -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
44	15, 43	iunxprg 4017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. 2o /\ 1o e. 2o ) -> U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) )
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B )
46		djueq1 7163	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) -> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
47		foeq3 5513	. . . . . . . . 9 |- ( ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
49	48	exbii 1629	. . . . . . 7 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
51	5, 50	exlimddv 1923	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
53	52	exlimiv 1622	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
54	53	exlimdv 1843	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
55	54	imp 124	1 |- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   u. cun 3168   (/)c0 3464   ifcif 3575   {cpr 3639   U_ciun 3936   omcom 4651   -onto->wfo 5283   1oc1o 6513   2oc2o 6514   Fincfn 6845   ⊔ cdju 7160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846  df-fin 6848  df-dju 7161  df-inl 7170  df-inr 7171  df-case 7207  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fz 10161  df-fl 10445  df-mod 10500  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-dvds 12184

This theorem is referenced by: (None)