Theorem unct 12659

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	|- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, g, h   B, f, g, h

Proof of Theorem unct

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6579	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
2		nnfi 6933	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
3		finct 7182	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. Fin -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 |- E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. j j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) )
7		df2o3 6488	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
8		djueq1 7106	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o = { (/) , 1o } -> ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2o ⊔ 1o ) = ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) -> ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 |- ( j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) <-> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> j : om -onto-> ( { (/) , 1o } ⊔ 1o ) )
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13		iftrue 3566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = f )
14		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> om = om )
15		iftrue 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = A )
16		djueq1 7106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = A -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( A ⊔ 1o ) )
18	13, 14, 17	foeq123d 5497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
23		1n0 6490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o =/= (/)
24	23	neii 2369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o = (/)
25		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
26	24, 25	mtbiri 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> -. x = (/) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> -. x = (/) )
28		iffalse 3569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , f , g ) = g )
29		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> om = om )
30		iffalse 3569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = (/) -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
31		djueq1 7106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( if ( x = (/) , A , B ) = B -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( B ⊔ 1o ) )
33	28, 29, 32	foeq123d 5497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = (/) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> ( if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( x = 1o -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
37	21, 36	jaod 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> ( ( x = (/) \/ x = 1o ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) ) )
38		elpri 3645	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { (/) , 1o } -> ( x = (/) \/ x = 1o ) )
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) /\ x e. { (/) , 1o } ) -> if ( x = (/) , f , g ) : om -onto-> ( if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
40	11, 39	ctiunct 12657	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) )
41		0lt2o 6499	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
42		1lt2o 6500	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
43	26	iffalsed 3571	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1o -> if ( x = (/) , A , B ) = B )
44	15, 43	iunxprg 3997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. 2o /\ 1o e. 2o ) -> U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) )
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B )
46		djueq1 7106	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) = ( A u. B ) -> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
47		foeq3 5478	. . . . . . . . 9 |- ( ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) = ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) -> ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
49	48	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. h h : om -onto-> ( U_ x e. { (/) , 1o } if ( x = (/) , A , B ) ⊔ 1o ) <-> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ j : om -onto-> ( 2o ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
51	5, 50	exlimddv 1913	. . . . 5 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
53	52	exlimiv 1612	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
54	53	exlimdv 1833	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) ) )
55	54	imp 124	1 |- ( ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> E. h h : om -onto-> ( ( A u. B ) ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   u. cun 3155   (/)c0 3450   ifcif 3561   {cpr 3623   U_ciun 3916   omcom 4626   -onto->wfo 5256   1oc1o 6467   2oc2o 6468   Fincfn 6799   ⊔ cdju 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114  df-case 7150  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-dvds 11953

This theorem is referenced by: (None)