Theorem uneq12d 3384

Description: Equality deduction for union of two classes. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
uneq1d.1	|- ( ph -> A = B )
uneq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
uneq12d	|- ( ph -> ( A u. C ) = ( B u. D ) )

Proof of Theorem uneq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		uneq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		uneq12 3378	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> ( A u. C ) = ( B u. D ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A u. C ) = ( B u. D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   u. cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is used by:  disjpr2  3773  diftpsn3  3856  iunxprg  4093  undifexmid  4332  exmidundif  4345  exmidundifim  4346  exmid1stab  4347  suceq  4549  rnpropg  5270  fntpg  5440  fresaunres2disj  5573  foun  5661  fnimapr  5766  fprg  5901  fsnunfv  5919  fsnunres  5920  tfrlemi1  6608  tfr1onlemaccex  6624  tfrcllemaccex  6637  ereq1  6819  mapunen  7157  undifdc  7237  unfiin  7239  djueq12  7385  fztp  10501  fzsuc2  10502  fseq1p1m1  10517  ennnfonelemg  13351  ennnfonelemp1  13354  ennnfonelem1  13355  ennnfonelemnn0  13370  setsvalg  13439  setsfun0  13445  setsresg  13447  setsslid  13460  prdsex  14278  prdsval  14279  psrval  15160  lgsquadlem2  16419  vtxdfifiun  16760  trlsegvdegfi  16930