Theorem iunxiun 3930

Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxiun	|- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Distinct variable groups:   x, y   x, A   y, C

Allowed substitution hints:   A( y)   B( x, y)   C( x)

Proof of Theorem iunxiun

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3853	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A B <-> E. y e. A x e. B )
2	1	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
3		r19.41v 2613	. . . . . . 7 |- ( E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
5	4	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
6		rexcom4 2735	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . . 4 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
8		df-rex 2441	. . . 4 |- ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) )
9		eliun 3853	. . . . . 6 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
10		df-rex 2441	. . . . . 6 |- ( E. x e. B z e. C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
11	9, 10	bitri 183	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
12	11	rexbii 2464	. . . 4 |- ( E. y e. A z e. U_ x e. B C <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
13	7, 8, 12	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
14		eliun 3853	. . 3 |- ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> E. x e. U_ y e. A B z e. C )
15		eliun 3853	. . 3 |- ( z e. U_ y e. A U_ x e. B C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> z e. U_ y e. A U_ x e. B C )
17	16	eqriv 2154	1 |- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   E.wrex 2436   U_ciun 3849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-iun 3851

This theorem is referenced by: (None)