Theorem iunxiun 3947

Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxiun	|- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Distinct variable groups:   x, y   x, A   y, C

Allowed substitution hints:   A( y)   B( x, y)   C( x)

Proof of Theorem iunxiun

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3870	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A B <-> E. y e. A x e. B )
2	1	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
3		r19.41v 2622	. . . . . . 7 |- ( E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
5	4	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
6		rexcom4 2749	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . . 4 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
8		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) )
9		eliun 3870	. . . . . 6 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
10		df-rex 2450	. . . . . 6 |- ( E. x e. B z e. C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
11	9, 10	bitri 183	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
12	11	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. y e. A z e. U_ x e. B C <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
13	7, 8, 12	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
14		eliun 3870	. . 3 |- ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> E. x e. U_ y e. A B z e. C )
15		eliun 3870	. . 3 |- ( z e. U_ y e. A U_ x e. B C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> z e. U_ y e. A U_ x e. B C )
17	16	eqriv 2162	1 |- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   U_ciun 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-iun 3868

This theorem is referenced by: (None)