Theorem oprabidlem 5884

Description: Slight elaboration of exdistrfor 1793. A lemma for oprabid 5885. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oprabidlem	|- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1502	. . 3 |- ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
2		ax-10 1498	. . . 4 |- ( A. y y = x -> A. x x = y )
3		dtru 4544	. . . . . 6 |- -. A. y y = z
4		pm2.53 717	. . . . . 6 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> ( -. A. y y = z -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
5	3, 4	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
6		df-nf 1454	. . . . . 6 |- ( F/ y x = z <-> A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
7	6	albii 1463	. . . . 5 |- ( A. x F/ y x = z <-> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
8	5, 7	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x F/ y x = z )
9	2, 8	orim12i 754	. . 3 |- ( ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) ) -> ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z )
11	10	exdistrfor 1793	1 |- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   A.wal 1346   F/wnf 1453   E.wex 1485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589

This theorem is referenced by:  oprabid  5885