Theorem oprabidlem 5873

Description: Slight elaboration of exdistrfor 1788. A lemma for oprabid 5874. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oprabidlem	|- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1497	. . 3 |- ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
2		ax-10 1493	. . . 4 |- ( A. y y = x -> A. x x = y )
3		dtru 4537	. . . . . 6 |- -. A. y y = z
4		pm2.53 712	. . . . . 6 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> ( -. A. y y = z -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
5	3, 4	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
6		df-nf 1449	. . . . . 6 |- ( F/ y x = z <-> A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
7	6	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. x F/ y x = z <-> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
8	5, 7	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x F/ y x = z )
9	2, 8	orim12i 749	. . 3 |- ( ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) ) -> ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z )
11	10	exdistrfor 1788	1 |- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1341   F/wnf 1448   E.wex 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582

This theorem is referenced by:  oprabid  5874