Theorem oprabidlem 6106

Description: Slight elaboration of exdistrfor 1853. A lemma for oprabid 6107. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oprabidlem	|- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1562	. . 3 |- ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
2		ax-10 1558	. . . 4 |- ( A. y y = x -> A. x x = y )
3		dtru 4702	. . . . . 6 |- -. A. y y = z
4		pm2.53 734	. . . . . 6 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> ( -. A. y y = z -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
5	3, 4	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
6		df-nf 1514	. . . . . 6 |- ( F/ y x = z <-> A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
7	6	albii 1523	. . . . 5 |- ( A. x F/ y x = z <-> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
8	5, 7	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x F/ y x = z )
9	2, 8	orim12i 771	. . 3 |- ( ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) ) -> ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z )
11	10	exdistrfor 1853	1 |- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   A.wal 1400   F/wnf 1513   E.wex 1545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711

This theorem is referenced by:  oprabid  6107