Theorem oprabidlem 5949

Description: Slight elaboration of exdistrfor 1811. A lemma for oprabid 5950. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oprabidlem	|- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1520	. . 3 |- ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
2		ax-10 1516	. . . 4 |- ( A. y y = x -> A. x x = y )
3		dtru 4592	. . . . . 6 |- -. A. y y = z
4		pm2.53 723	. . . . . 6 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> ( -. A. y y = z -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
5	3, 4	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
6		df-nf 1472	. . . . . 6 |- ( F/ y x = z <-> A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
7	6	albii 1481	. . . . 5 |- ( A. x F/ y x = z <-> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
8	5, 7	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x F/ y x = z )
9	2, 8	orim12i 760	. . 3 |- ( ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) ) -> ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z )
11	10	exdistrfor 1811	1 |- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   F/wnf 1471   E.wex 1503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624

This theorem is referenced by:  oprabid  5950