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Theorem oprabidlem 5881
Description: Slight elaboration of exdistrfor 1793. A lemma for oprabid 5882. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
oprabidlem  |-  ( E. x E. y ( x  =  z  /\  ps )  ->  E. x
( x  =  z  /\  E. y ps ) )
Distinct variable groups:    x, z    y,
z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1502 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  \/  ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
) )
2 ax-10 1498 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. x  x  =  y )
3 dtru 4542 . . . . . 6  |-  -.  A. y  y  =  z
4 pm2.53 717 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) ) )
53, 4mpi 15 . . . . 5  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)
6 df-nf 1454 . . . . . 6  |-  ( F/ y  x  =  z  <->  A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)
76albii 1463 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y  x  =  z  <->  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) )
85, 7sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  A. x F/ y  x  =  z )
92, 8orim12i 754 . . 3  |-  ( ( A. y  y  =  x  \/  ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) ) )  ->  ( A. x  x  =  y  \/  A. x F/ y  x  =  z ) )
101, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  \/  A. x F/ y  x  =  z )
1110exdistrfor 1793 1  |-  ( E. x E. y ( x  =  z  /\  ps )  ->  E. x
( x  =  z  /\  E. y ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703   A.wal 1346   F/wnf 1453   E.wex 1485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587
This theorem is referenced by:  oprabid  5882
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