Theorem oprabidlem 6032

Description: Slight elaboration of exdistrfor 1846. A lemma for oprabid 6033. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oprabidlem	|- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1555	. . 3 |- ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
2		ax-10 1551	. . . 4 |- ( A. y y = x -> A. x x = y )
3		dtru 4652	. . . . . 6 |- -. A. y y = z
4		pm2.53 727	. . . . . 6 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> ( -. A. y y = z -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) )
5	3, 4	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
6		df-nf 1507	. . . . . 6 |- ( F/ y x = z <-> A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
7	6	albii 1516	. . . . 5 |- ( A. x F/ y x = z <-> A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) )
8	5, 7	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) -> A. x F/ y x = z )
9	2, 8	orim12i 764	. . 3 |- ( ( A. y y = x \/ ( A. y y = z \/ A. x A. y ( x = z -> A. y x = z ) ) ) -> ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y x = z )
11	10	exdistrfor 1846	1 |- ( E. x E. y ( x = z /\ ps ) -> E. x ( x = z /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   A.wal 1393   F/wnf 1506   E.wex 1538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  oprabid  6033