Theorem exdistrfor 1780

Description: Distribution of existential quantifiers, with a bound-variable hypothesis saying that y is not free in ph, but x can be free in ph (and there is no distinct variable condition on x and y). (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
exdistrfor.1	|- ( A. x x = y \/ A. x F/ y ph )

Assertion

Ref	Expression
exdistrfor	|- ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )

Proof of Theorem exdistrfor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrfor.1	. 2 |- ( A. x x = y \/ A. x F/ y ph )
2		biidd 171	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> ( ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ ps ) ) )
3	2	drex1 1778	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> ( E. x ( ph /\ ps ) <-> E. y ( ph /\ ps ) ) )
4	3	drex2 1712	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( E. x E. x ( ph /\ ps ) <-> E. x E. y ( ph /\ ps ) ) )
5		hbe1 1475	. . . . . 6 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E. x ( ph /\ ps ) )
6	5	19.9h 1623	. . . . 5 |- ( E. x E. x ( ph /\ ps ) <-> E. x ( ph /\ ps ) )
7		19.8a 1570	. . . . . . 7 |- ( ps -> E. y ps )
8	7	anim2i 340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) )
9	8	eximi 1580	. . . . 5 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )
10	6, 9	sylbi 120	. . . 4 |- ( E. x E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )
11	4, 10	syl6bir 163	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) ) )
12		ax-ial 1514	. . . 4 |- ( A. x F/ y ph -> A. x A. x F/ y ph )
13		19.40 1611	. . . . . 6 |- ( E. y ( ph /\ ps ) -> ( E. y ph /\ E. y ps ) )
14		19.9t 1622	. . . . . . . 8 |- ( F/ y ph -> ( E. y ph <-> ph ) )
15	14	biimpd 143	. . . . . . 7 |- ( F/ y ph -> ( E. y ph -> ph ) )
16	15	anim1d 334	. . . . . 6 |- ( F/ y ph -> ( ( E. y ph /\ E. y ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) ) )
17	13, 16	syl5 32	. . . . 5 |- ( F/ y ph -> ( E. y ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) ) )
18	17	sps 1517	. . . 4 |- ( A. x F/ y ph -> ( E. y ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ E. y ps ) ) )
19	12, 18	eximdh 1591	. . 3 |- ( A. x F/ y ph -> ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) ) )
20	11, 19	jaoi 706	. 2 |- ( ( A. x x = y \/ A. x F/ y ph ) -> ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) ) )
21	1, 20	ax-mp 5	1 |- ( E. x E. y ( ph /\ ps ) -> E. x ( ph /\ E. y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1333   F/wnf 1440   E.wex 1472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1441

This theorem is referenced by:  oprabidlem  5849