ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ord3ex Unicode version

Theorem ord3ex 4164
Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
ord3ex  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  e.  _V

Proof of Theorem ord3ex
StepHypRef Expression
1 df-tp 3579 . 2  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  =  ( { (/)
,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } )
2 pp0ex 4163 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
32pwex 4157 . . . 4  |-  ~P { (/)
,  { (/) } }  e.  _V
4 pwprss 3780 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }
)  C_  ~P { (/) ,  { (/) } }
53, 4ssexi 4115 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }
)  e.  _V
6 snsspr2 3717 . . . 4  |-  { { (/)
,  { (/) } } }  C_  { { { (/)
} } ,  { (/)
,  { (/) } } }
7 unss2 3289 . . . 4  |-  ( { { (/) ,  { (/) } } }  C_  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } }  ->  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { (/)
,  { (/) } } } )  C_  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } ) )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } ) 
C_  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { { (/) } } ,  { (/) ,  { (/) } } } )
95, 8ssexi 4115 . 2  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { (/) ,  { (/)
} } } )  e.  _V
101, 9eqeltri 2237 1  |-  { (/) ,  { (/) } ,  { (/)
,  { (/) } } }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 2135   _Vcvv 2722    u. cun 3110    C_ wss 3112   (/)c0 3405   ~Pcpw 3554   {csn 3571   {cpr 3572   {ctp 3573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2724  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-tp 3579
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator