Theorem ord3ex 4122

Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ord3ex	|- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Proof of Theorem ord3ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3540	. 2 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } = ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } )
2		pp0ex 4121	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	pwex 4115	. . . 4 |- ~P { (/) , { (/) } } e. _V
4		pwprss 3740	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) C_ ~P { (/) , { (/) } }
5	3, 4	ssexi 4074	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) e. _V
6		snsspr2 3677	. . . 4 |- { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } }
7		unss2 3252	. . . 4 |- ( { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } -> ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } )
9	5, 8	ssexi 4074	. 2 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2213	1 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   C_ wss 3076   (/)c0 3368   ~Pcpw 3515   {csn 3532   {cpr 3533   {ctp 3534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-tp 3540

This theorem is referenced by: (None)