Theorem ord3ex 4114

Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ord3ex	|- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Proof of Theorem ord3ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3535	. 2 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } = ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } )
2		pp0ex 4113	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	pwex 4107	. . . 4 |- ~P { (/) , { (/) } } e. _V
4		pwprss 3732	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) C_ ~P { (/) , { (/) } }
5	3, 4	ssexi 4066	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) e. _V
6		snsspr2 3669	. . . 4 |- { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } }
7		unss2 3247	. . . 4 |- ( { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } -> ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } )
9	5, 8	ssexi 4066	. 2 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2212	1 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   {csn 3527   {cpr 3528   {ctp 3529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535

This theorem is referenced by: (None)