Theorem ord3ex 4169

Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ord3ex	|- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Proof of Theorem ord3ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3584	. 2 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } = ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } )
2		pp0ex 4168	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	pwex 4162	. . . 4 |- ~P { (/) , { (/) } } e. _V
4		pwprss 3785	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) C_ ~P { (/) , { (/) } }
5	3, 4	ssexi 4120	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) e. _V
6		snsspr2 3722	. . . 4 |- { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } }
7		unss2 3293	. . . 4 |- ( { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } -> ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } )
9	5, 8	ssexi 4120	. 2 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2239	1 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   {csn 3576   {cpr 3577   {ctp 3578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584

This theorem is referenced by: (None)