Theorem ord3ex 4308

Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ord3ex	|- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Proof of Theorem ord3ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3702	. 2 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } = ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } )
2		pp0ex 4307	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
3	2	pwex 4301	. . . 4 |- ~P { (/) , { (/) } } e. _V
4		pwprss 3915	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) C_ ~P { (/) , { (/) } }
5	3, 4	ssexi 4253	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) e. _V
6		snsspr2 3848	. . . 4 |- { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } }
7		unss2 3394	. . . 4 |- ( { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } -> ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } )
9	5, 8	ssexi 4253	. 2 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2307	1 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   {csn 3694   {cpr 3695   {ctp 3696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702

This theorem is referenced by: (None)